Giải SGK Toán 11 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 7

Bài tập

Bài 1 trang 76 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. (uv)’ = u’v’.      

B. (uv)’ = uv’.

C. (uv)’ = u’v.        

D. (uv)’ = u’v + uv’.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: (uv)’ = u’v + uv’.

Bài 2 trang 76 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{‘}=\frac{u‘}{v^{‘}}$ với v = v(x) ≠ 0, v’ = v'(x) ≠ 0.

B. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{‘}=\frac{u^{‘}v-u{v}^{‘}}{v}$ với v = v(x) ≠ 0.

C. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{‘}=\frac{u^{‘}v-u{v}^{‘}}{v^2}$với v = v(x) ≠ 0.

D. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{‘}=\frac{u^{‘}v-u{v}^{‘}}{v^{‘}}$với v = v(x) ≠ 0, v’ = v’ (x) ≠ 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{‘}=\frac{u^{‘}v-u{v}^{‘}}{v^2}$ với v = v(x) ≠ 0.

Bài 3 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = (x² + 2x)(x³ – 3x);       b) $y=\frac{1}{-2x+5};$   c) $y=\sqrt{4x+5};$

d) y = sinxcosx;                     e) y = xe^x;                      g) y = ln²x.

Lời giải:

 a) Xét hàm số y = (x² + 2x)(x³ – 3x), ta có:

y’ = (x² + 2x)'(x³ – 3x) + (x² + 2x)(x³ – 3x)’

= (2x + 2)(x³ – 3x) + (x² + 2x)(3x² – 3)

= 2x⁴ – 6x² + 2x³ – 6x + 3x⁴ – 3x² + 6x³ – 6x

= 5x⁴ + 8x³ – 9x² – 12x.

b) Xét hàm số $y=\frac{1}{-2x+5},$ ta có:

$y^{‘}={\left(\frac{1}{-2x+5}\right)}^{‘}=-\frac{{\left(-2x+5\right)}^{‘}}{{\left(-2x+5\right)}^2}=-\frac{-2}{{\left(-2x+5\right)}^2}=\frac{2}{{\left(-2x+5\right)}^2}.$

c) Xét hàm số $y=\sqrt{4x+5},$ ta có:

$y^{‘}={\left(\sqrt{4x+5}\right)}^{‘}=\frac{{\left(4x+5\right)}^{‘}}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}.$

d) Xét hàm số y = sinxcosx

Cách 1.

y’ = (sinxcosx)’ = (sinx)’.cosx + sinx.(cosx)’

= cosx.cosx + sinx.(–sinx)

= cos²x – sin²x = cos2x.

Cách 2.

Ta có $y=sinxcosx=\frac{1}{2}\sin 2x.$

Suy ra $y^{‘}={\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^{‘}=\frac{1}{2}{\left(2x\right)}^{‘}\cdot \cos 2x=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \cos 2x=\cos 2x.$

$y^{‘}=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x={\left(\cos x\right)}^2-{\left(\sin x\right)}^2=\cos 2x$

e) Xét hàm số y = xe^x, ta có:

y’ = (xe^x)’ = (x)’ . e^x + x . (e^x)’ = e^x + xe^x.

g) Xét hàm số y = ln²x, ta có:

$y^{‘}={\left(l{n}^{2}x\right)}^{‘}=2\ln x\cdot {\left(\ln x\right)}^{‘}=2\ln x\cdot \frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}.$

Bài 4 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 3x³ + 5x²;           b) $y=\frac{2}{3-x};$              c) y = sin2xcosx;

d) y = e^–2x+3;                           e) y = ln(x + 1);              g) y = ln(e^x + 1).

Lời giải:

a) Xét hàm số y = 2x⁴ – 3x³ + 5x², ta có:

y’ = 8x³ – 9x² + 10x;

y” = 24x² – 18x + 10.

b) Xét hàm số $y=\frac{2}{3-x},$ ta có:

$y^{‘}={\left(\frac{2}{3-x}\right)}^{‘}=-\frac{2\cdot {\left(3-x\right)}^{‘}}{{\left(3-x\right)}^2}=-\frac{2\cdot \left(-1\right)}{{\left(3-x\right)}^2}=\frac{2}{{\left(3-x\right)}^2};$

$y^{”}={\left[\frac{2}{{\left(3-x\right)}^2}\right]}^{‘}=-\frac{2\cdot {\left[{\left(3-x\right)}^2\right]}^{‘}}{{\left(3-x\right)}^4}=-\frac{2\cdot 2\cdot \left(3-x\right)\cdot {\left(3-x\right)}^{‘}}{{\left(3-x\right)}^4}=\frac{-4\cdot \left(-1\right)}{{\left(3-x\right)}^3}=\frac{4}{{\left(3-x\right)}^3}.$

c) Xét hàm số y = sin2xcosx, ta có:

y’ = (sin2xcosx)’ = (sin2x)’.cosx + sin2x.(cosx)’

    = 2cos2x.cosx – sin2x.sinx

$=2\cdot \frac{1}{2}\left(\cos x+\cos 3x\right)-\frac{1}{2}\left(\cos x-\cos 3x\right)$

$=\cos x+\cos 3x-\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\cos 3x$

$=\frac{1}{2}\cos x+\frac{3}{2}\cos 3x.$

${y^{‘}}^{‘}={\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{3}{2}\cos 3x\right)}^{‘}=\frac{1}{2}\left(-\sin x\right)+\frac{3}{2}\cdot 3\cdot \left(-\sin 3x\right)=-\frac{1}{2}\sin x-\frac{9}{2}\sin 3x.$

d) Xét hàm số y = e^{–2x + 3}, ta có:

y’ = (e^{–2x + 3})’ = (–2x + 3)’ . e^{–2x + 3} = –2e^–2x+3;

y” = (–2e^–2x+3)’ = –2.(–2x + 3)’.e^–2x+3 = 4e^–2x+3.

e) Xét hàm số y = ln(x + 1), ta có:

$y^{‘}={\left[ln\left(x+1\right)\right]}^{‘}=\frac{{\left(x+1\right)}^{‘}}{x+1}=\frac{1}{x+1};$

${y^{‘}}^{‘}={\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{‘}=-\frac{{\left(x+1\right)}^{‘}}{{\left(x+1\right)}^2}=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}.$

g) Xét hàm số y = ln(e^x + 1), ta có:

$y^{‘}={\left[ln\left(e^x+1\right)\right]}^{‘}=\frac{{\left(e^x+1\right)}^{‘}}{e^x+1}=\frac{e^x}{e^x+1};$

${y^{‘}}^{‘}={\left(\frac{e^x}{e^x+1}\right)}^{‘}=\frac{{\left(e^x\right)}^{‘}\cdot \left(e^x+1\right)-e^x\cdot {\left(e^x+1\right)}^{‘}}{{\left(e^x+1\right)}^2}$

$=\frac{e^x\cdot \left(e^x+1\right)-e^x\cdot e^x}{{\left(e^x+1\right)}^2}=\frac{e^{2x}+e^x-e^{2x}}{{\left(e^x+1\right)}^2}=\frac{e^x}{{\left(e^x+1\right)}^2}.$

Bài 5 trang 76 Toán 11 Tập 2: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 2t + t², trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng m/s. Tìm gia tốc tức thời của chất điểm:

a) Tại thời điểm t = 3 (s);

b) Tại thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s.

Lời giải:

Vận tốc của chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = t² + 2t.

a) Gia tốc tức thời của chất điểm: a(t) = v'(t) = 2t + 2.

Gia tốc tức thời của chất điểm tại t = 3 (s) là:

a(3) = 2 . 3 + 2 = 8 (m/s²).

b) Để vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s thì: t² + 2t = 8

Suy ra t² + 2t – 8 = 0

Do đó t = 2 (thỏa mãn) hoặc t = –4 (không thỏa mãn)

Tại t = 2 thì a(2) = 2 . 2 + 2 = 6 (m/s²).

Vậy tại thời điểm vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s thì gia tốc tức thời là 6 m/s².

Bài 6 trang 76 Toán 11 Tập 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động $x=4\cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{3,}$ trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet.

a) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t (s).

b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

Lời giải:

a) Vận tốc tức thời của con lắc là:

$v\left(t\right)={\left[4\cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)+3\right]}^{‘}=4\cdot {\left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)}^{‘}\cdot \left[-\sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]=-4\pi \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right).$

Gia tốc tức thời của con lắc là:

$a\left(t\right)={\left[-4\pi \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^{‘}=-4\pi \cdot {\left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)}^{‘}\cdot \cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)=-4{\pi }^2\cos \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right).$

b) Để vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 thì

$-4\pi \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)=0$

$\iff \sin \left(\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)=0$

$\iff \pi t-\frac{2\pi }{3}=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff t-\frac{2}{3}=k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff t=k+\frac{2}{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có t > 0 nên $k+\frac{2}{3}>\mathrm{0,}$ tức $k>-\frac{2}{3}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …} hay k ∈ ℕ*.

Vậy tại thời điểm $t=k+\frac{2}{3}\left(k\in \mathbb{N}*\right)$ thì vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện