Giải SGK Toán 11 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 1 trang 41

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 1 trang 41
Bài 1 trang 41 Toán 11 Tập 1: Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:
A. (0; π).
B. $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ .
C. $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$
D. (‒π; 0).
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Cách 1. Dựa vào đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số y = sinx (hình vẽ):

Quan sát đồ thị trên, ta thấy hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ .
Cách 2. Dùng tính chất của hàm số y = sinx:
Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ với k ∈ ℤ.
Do đó hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ .
Bài 2 trang 41 Toán 11 Tập 1: Hàm số nghịch biến trên khoảng (π; 2π) là:
A. y = sinx.
B. y = cosx.
C. y = tanx.
D. y = cotx.
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Cách 1. Dùng đồ thị hàm số:
Xét đồ thị hàm số y = sinx:

Xét đồ thị hàm số y = cosx:

Xét đồ thị hàm số y = tanx:

Xét đồ thị hàm số y = cotx:

Quan sát các đồ thị trên, ta thấy hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (π; 2π).
Cách 2. Dùng tính chất của hàm số lượng giác:
Do (π; 2π) = (0 + π; π + π)
Mà hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) với k ∈ ℤ.
Do đó hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (π; 2π).
Bài 3 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu tan(a + b) = 3, tan(a – b) = ‒3 thì tan2a bằng:
A. 0.
B. $\frac{3}{5}$ .
C. 1.
D. –$\frac{3}{4}$.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có:
tan2a = tan[(a + b) + (a – b)]
$=\frac{\tan \left(a+b\right)+\tan \left(a-b\right)}{1-\tan \left(a+b\right)\tan \left(a-b\right)}=\frac{3+\left(-3\right)}{1-3.\left(-3\right)}=0$.
Bài 4 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu cosa = $\frac{1}{4}$ thì cos2a bằng:
A. $\frac{7}{8}$ .
B. –$\frac{7}{8}$.
C. $\frac{15}{16}$ .
D. –$\frac{15}{16}$.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: cos2a = 2cos²a – 1 = $2.{\left(\frac{1}{4}\right)}^2-1=2.\frac{1}{16}-1=-\frac{7}{8}$.
Bài 5 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu cosa = $\frac{3}{5}$ và cosb = $–\frac{4}{5}$ thì cos(a + b)cos(a – b) bằng:
A. 0.
B. 2.
C. 4.
D. 5.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:
cos (a+b)cos(a-b) = $\frac{1}{2}$[cos(a+b+a-b) + cos(a+b-a+b)]
= $\frac{1}{2}$[cos2a + cos2b]
Ta lại có:
cos2a = 2cos²a – 1 = $2.{\left(\frac{3}{5}\right)}^2-1=2.\frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$;
cos2b = 2cos²b – 1 = $2.{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2-1=2.\frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}$;
Do đó cos(a+b)cos(a-b) = $\frac{1}{2}$[cos2a + cos2b] = $\frac{1}{2}$.$\left(-\frac{7}{25}+\frac{7}{25}\right)$=0.
Bài 6 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu sina = $-\frac{\sqrt{2}}{3}$ thì sin$\left(a+\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$ bằng:
A. $\frac{2}{3}$ .
B. $\frac{1}{3}$ .
C. –$\frac{2}{3}$.
D. –$\frac{1}{3}$.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
sin$\left(a+\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$
= 2sin$\left(\frac{a+\frac{\pi }{4}+a-\frac{\pi }{4}}{2}\right)\cos \left(\frac{a+\frac{\pi }{4}-a+\frac{\pi }{4}}{2}\right)$
= 2sinacos$\frac{\pi }{4}=2.\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{2}{3}$.
Bài 7 trang 41 Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình cosx = 0 trên đoạn [0; 10π] là:
A. 5.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Cách 1. Giải phương trình lượng giác
cosx = 0
$\iff$x = $\frac{\pi }{2}$+k$\pi$ (k ∈ ℤ)
Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0$\le$$\frac{\pi }{2}$+k$\pi$$\le$10$\pi$
$\iff$0$\le$$\frac{\pi }{2}$+k$\le$10 $\iff$ –$\frac{1}{2}$$\le$k$\le$$\frac{19}{2}$
Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 9}, khi đó ta tìm được 10 giá trị của x.
Vậy phương trình cosx = 0 có 10 nghiệm trên đoạn [0; 10π].
Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = cosx cắt trục hoành tại 10 điểm A, B, C, …, K trên đoạn [0; 10π].
Vậy phương trình cosx = 0 có 10 nghiệm trên đoạn [0; 10π].
Bài 8 trang 41 Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sinx = 0 trên đoạn [0; 10π] là:
A. 10.
B. 6.
C. 5.
D. 11.
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Cách 1. Giải phương trình lượng giác
sinx = 0
$\iff$ x = kπ (k ∈ ℤ)
Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0 ≤ kπ ≤ 10π
$\iff$ 0 ≤ k ≤ 10
Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 10}, khi đó ta tìm được 11 giá trị của x.
Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].
Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sinx cắt trục hoành tại 11 điểm A ≡ O, B, C, …, M trên đoạn [0; 10π].
Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].
Bài 9 trang 41 Toán 11 Tập 1: Phương trình cotx = ‒1 có nghiệm là:
A. $-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .
B. $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .
C. $\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .
D. –$\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: cotx = ‒1
$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.
Bài 10 trang 41 Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn [0; π] là:
A. 4.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Cách 1. Giải phương trình lượng giác:
Ta có:
$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$

• Do x ∈ [0; π] nên từ (1) ta có:
0 ≤ k2π ≤ π
$\iff$ 0 ≤ 2k ≤ 1
$\iff$ 0 ≤ k ≤ $\frac{1}{2}$
Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x (x = 0) trong trường hợp này.
• Do x ∈ [0; π] nên từ (2) ta có:
0 ≤ $\frac{\pi }{2}$+k2$\pi$ ≤ $\pi$
$\iff$ 0 ≤ $\frac{1}{2}$+2k ≤ 1
$\iff -\frac{1}{2}\le 2k\le \frac{1}{2}\iff -\frac{1}{4}\le k\le \frac{1}{4}$
Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x $\left(x=\frac{\pi }{2}\right)$ trong trường hợp này.
Vậy phương trình sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai nghiệm trên đoạn [0; π].
Cách 2. Dùng đồ thị hàm số
Đặt x+$\frac{\pi }{4}=\alpha$. Khi đó ta có phương trình sin$\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Xét đường thẳng y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và đồ thị hàm số y = sinα trên đoạn [0; π]:

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ cắt đồ thị số y = sinα trên đoạn [0; π] tại hai điểm có hoành độ lần lượt là ${\alpha }_1=\frac{\pi }{4}$ và ${\alpha }_2=\frac{3\pi }{4}$.
Mà x+$\frac{\pi }{4}=\alpha$ , khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là x₁ = 0 và $x_2=\frac{\pi }{2}$.
Vậy phương trình sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai nghiệm trên đoạn [0; π].
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
Bài tập cuối chương 1
Bài 1: Dãy số
Bài 2: Cấp số cộng
Bài 3: Cấp số nhân

==== ~~~~~~ ====