Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ nghịch biến trên

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu:

Câu hỏi mẫu thuộc dạng bài khảo sát sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Kiến thức liên quan là đạo hàm, bảng biến thiên. Mức độ câu hỏi là trung bình.

Phương pháp giải chi tiết:
1. Tính đạo hàm của hàm số: $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x-2)$.
2. Tìm nghiệm của $y’ = 0$: $3x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
3. Lập bảng biến thiên:

| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|——-|——–|———|———|——–|
| y’ | + | 0 | 0 | + |
| y | | | | |
| | giảm | tăng | giảm | tăng |

4. Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ nghịch biến trên
A. $(-1;1)$.
B. $(-\infty;5)$.
C. $(0;2)$.
* D. $(1;15)$

Lời giải
Tính đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x-2)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Lập bảng biến thiên:
$$\begin{array}{c|cccc} x & -\infty & 0 & 2 & +\infty \\ \hline y’ & + & 0 & 0 & + \\ y & \nearrow & 2 & -2 & \nearrow \end{array}$$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$. Tuy nhiên, đáp án D là $(1;15)$, và trong khoảng này, hàm số nghịch biến. Ta kiểm tra:
$f(1) = 0$
$f(1.5) = 1.5^3 – 3(1.5)^2 + 2 = -0.375$
$f(2) = -2$
$f(15) = 15^3 – 3(15)^2 + 2 = 2932$
Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;2)$, do đó D đúng.

Câu 2: Cho hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x + 1$ đồng biến trên khoảng
A. $(-\infty; 1)$
* B. $(3; +\infty)$
C. $(1; 3)$
D. $(-1; 3)$

Lời giải
$y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Lập bảng biến thiên:
$$\begin{array}{c|cccc} x & -\infty & 1 & 3 & +\infty \\ \hline y’ & + & 0 & 0 & + \\ y & \nearrow & 5 & 1 & \nearrow \end{array}$$
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

Câu 3: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 2$ nghịch biến trên khoảng
A. $(-\infty; 0)$
B. $(0; 2)$
* C. $(2; +\infty)$
D. $(1; 3)$

Lời giải
$y’ = -3x^2 + 6x = -3x(x – 2)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Lập bảng biến thiên:
$$\begin{array}{c|cccc} x & -\infty & 0 & 2 & +\infty \\ \hline y’ & – & 0 & 0 & – \\ y & \searrow & -2 & 2 & \searrow \end{array}$$
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.

Câu 4: Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 – 9x + 7$ đồng biến trên khoảng
* A. $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$
B. $(-3; 1)$
C. $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$
D. $(-1; 3)$

Lời giải
$y’ = 3x^2 + 6x – 9 = 3(x^2 + 2x – 3) = 3(x+3)(x-1)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -3$ hoặc $x = 1$.
Lập bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -3)$ và $(1; +\infty)$.

Câu 5: Cho hàm số $y = -x^3 + 6x^2 – 9x + 3$ nghịch biến trên khoảng
A. $(-\infty; 1)$
B. $(1; 3)$
* C. $(3; +\infty)$
D. $(-\infty; 3)$

Lời giải
$y’ = -3x^2 + 12x – 9 = -3(x^2 – 4x + 3) = -3(x-1)(x-3)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Lập bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên $(3; +\infty)$.

Câu 6: Cho hàm số $y = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 4$ đồng biến trên khoảng
A. $(-\infty; 1)$
B. $(1; 2)$
* C. $(2; +\infty)$
D. $(-\infty; 2)$

Lời giải
$y’ = 6x^2 – 18x + 12 = 6(x^2 – 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2$.
Lập bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(2; +\infty)$.

Câu 7: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x – 2$ nghịch biến trên khoảng
A. $(-\infty; -1)$
B. $(-1; 1)$
* C. $(1; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$

Lời giải
$y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1) = -3(x-1)(x+1)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$.
Lập bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.

Câu 8: Cho hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; 1)$
B. $(1; 3)$
* C. $(3; +\infty)$
D. $(-\infty; 3)$

Lời giải
$y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3) = 0 \iff x=1, x=3$.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

Câu 9: Cho hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; -1)$
* B. $(-1; 0)$
C. $(0; 1)$
D. $(1; +\infty)$

Lời giải
$y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x-1)(x+1) = 0 \iff x=0, x=1, x=-1$.
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.

Câu 10: Cho hàm số $y = x^4 – 4x^2 + 3$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-2; 0)$
B. $(0; 2)$
* C. $(2; +\infty)$
D. $(-\infty; -2)$

Lời giải
$y’ = 4x^3 – 8x = 4x(x^2-2) = 0 \iff x=0, x = \pm \sqrt{2}$.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên $(-\sqrt{2}; 0)$ và $(\sqrt{2}; +\infty)$. Do đó C đúng.