Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể trọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.

Câu hỏi:

Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể trọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.

Trả lời:

Xét bốn điểm A, B, C, D. Nếu bốn điểm đó là đỉnh của một tứ giác lồi thì bài toán được chứng minh xong. Nếu bốn điểm đó không là đỉnh của một tứ giác lồi thì tồn tại một điểm (giả sử điểm D) nằm trong tam giác có đỉnh là ba điểm còn lại (hình bên). Chia mặt phẳng thành chín miền như hình vẽ, điểm thứ năm E nằm bên trong một miền (vì trong năm điểm không có ba điểm thẳng hàng).Nếu E thuộc các miền 1, 4, 8 ta chọn bốn điểm là A, D, B.Nếu E thuộc các miền 2, 5, 7 ta chọn E và A, D, C.Nếu E thuộc các miền 3, 6, 9 ta chọn E, B, D, C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tứ giác ABCD biết A^:B^:C^:D^ = 4:3:2:1.a) Tính các góc của tứ giác ABCD.b) Các tia phân giác của C^ và D^ cắt nhau tại E. Các đường phân giác của góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính CED^ và CFD^.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD biết $\widehat{A}:\widehat{B}:\widehat{C}:\widehat{D}$ = 4:3:2:1.a) Tính các góc của tứ giác ABCD.b) Các tia phân giác của $\widehat{C} và \widehat{D}$ cắt nhau tại E. Các đường phân giác của góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính $\widehat{CE\text{D}} và \widehat{CF\text{D}}.$

   Trả lời:

   a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.  $\widehat{A}={144}^0,\widehat{B}={108}^0,\widehat{C}={72}^0,\widehat{D}={36}^0$b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính được $\widehat{CED}={126}^0$.Chú ý hai phân giác trong và ngoài tại mỗi  góc của một tam giác thì vuông góc nhau, cùng với tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính được $\widehat{CFD}={54}^0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính số đo các góc C^ và D^ của tứ giác ABCD biết A^ = 120°, B^  = 90° và C^=2D^. 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính số đo các góc $\widehat{C} và \widehat{D}$ của tứ giác ABCD biết $\widehat{A}$ = 120°, $\widehat{B}$  = 90° và $\widehat{C}=2\widehat{D}.$ 

   Trả lời:

   $\widehat{D}={50}^0,\widehat{C}={100}^0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

   Trả lời:

   . a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác OAB, OBC,OCD và ODA.b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và CBD

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:a) MA + MB + MC + MD≥ AB + CD;b) MA + MB + MC + MD  ≥ 0.5(AB + BC + CD + DA)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:a) MA + MB + MC + MD≥ AB + CD;b) MA + MB + MC + MD  ≥ 0.5(AB + BC + CD + DA)

   Trả lời:

   a) HS tự chứng minhb) Tương tự 2A a)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình cánh diêu).a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.b) Tính B^,D^ biết A^ = 100O, C^ = 60O
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình cánh diêu).a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.b) Tính $\widehat{B},\widehat{D} biết \widehat{A} = {100}^O, \widehat{C} = {60}^O$

   Trả lời:

   a) HS tự chứng minhb) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú ý $\widehat{B}=\widehat{D}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====