Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt  nhau tại O và chu vi các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi.

Câu hỏi:

Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt  nhau tại O và chu vi các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi.

Trả lời:

Trên đoạn thẳng OC lấy điểm E, trên đoạn thẳng OD lấy điểm F sao cho OE = OA, OF = OB. Tứ giác ABEF là hình bình hành, chu vi tam giác OAB bằng chu vi tam giác OEF.Theo đề bài, chu vi tam giác OAB bằng chu vi tam giác OCD nên chu vi tam giác OEF và OCD bằng nhau, tức là EF = EC + CD + DF. Điều này chỉ xảy ra khi C trùng E và D trùng F. Vậy ABCD là hình bình hành.Theo đề bài, chu vi tam giác OAB bằng chu vi tam giác OBC, tức làOA + AB + BO = OB + BC + COMà OA = CO nên AB = BC, vậy ABCD là hình thoi.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi

   Trả lời:

   Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được:$EH=FG=\frac{1}{2}BD và HG=EF=\frac{1}{2}AC$Mà AC = BD Þ EH = HG = GF= FE nên EFGH là hình thoi.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi.

   Trả lời:

   Chứng minh AECF là hình bình hành có 2đường chéo vuông góc với nhau có 4 cạnh bằng nhau.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hình thoi ABCD có B = 60°. Kẻ AE  ^ DC, AF ^ BC.a) Chứng minh AE = AF.b) Chứng minh tam giác AEF đều.c) Biết BD = 16 cm, tính chu vi tam giác AEF
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình thoi ABCD có B = 60°. Kẻ AE  ^ DC, AF ^ BC.a) Chứng minh AE = AF.b) Chứng minh tam giác AEF đều.c) Biết BD = 16 cm, tính chu vi tam giác AEF

   Trả lời:

   a) Do AC là phân giác của góc $\widehat{DBC}$ nên AE = FAb) Có $\widehat{B}$ = 60⁰ nên DABC và DADC là các tam giác đều Þ $\widehat{EAC}=\widehat{FAC}={30}^0$. Vậy DAFE cân và có $\widehat{FAE}={60}^0$ nên DFAE đều.c) EF là đường trung bình của $\widehat{EAC}=\widehat{FAC}={30}^0$DCB Vậy $FE=\frac{1}{2}DB=8cm;$Chu vi DFAE là 24cm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ. Chứng minh:a) M, O,  P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng;b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ. Chứng minh:a) M, O,  P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng;b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

   Trả lời:

   a) Chứng minh được MBPD và BNDQ đều là hình bình hành Þ ĐPCM.b) Áp dụng định lý Talet đảo cho DABD và DBAC tacos MQ//BD và MN//AC.Mà ABCD là hình thoi nên AC ^ BD Þ MQ ^ MNMNPQ là hình chữ nhật vì có các góc ở đỉnh là góc vuông

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình thang ABCD gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai đường chéo của hình thang.          a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành.          b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình thang ABCD gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai đường chéo của hình thang.          a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành.          b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi?

   Trả lời:

   a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác cho DABC và DDBC ta sẽ có:MQ//PN//BC và MQ = PN = 0.5BC ÞMPNQ là hình bình hành.b) Tương tự ta có QN//MP//AD và QN = MP = 0.5AD.Nên để MPNQ là hình thoi thì MN ^ PQ khi đó MN ^ CD và trung trực hay trục đối xứng của AB và CD.Þ hình thang ABCD là hình thang cân

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====