Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Câu hỏi:

Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Trả lời:

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB và M là giao điểm của d và BC.
Do M ∈ d nên MA = MB hay tam giác MAB cân tại M.
Suy ra $\widehat{MBA}=\widehat{MAB}$  (1)
Trong tam giác vuông ABC có  $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Nên $\widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}$  (2)
Ta có $\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}=90°$
Nên $\widehat{MAC}=90°-\widehat{MBA}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$
Do đó tam giác MAC cân tại M nên MA = MC.
Như vậy, MB = MC (= MA) nên M là trung điểm của BC.
Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

   Trả lời:

   

   Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.
   Khi đó IM = IN = IP.
   +) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
   • Xét ∆AIP và ∆AIN có:
    $\widehat{API}=\widehat{AQI}$ (cùng bằng 90°),
   AI là cạnh chung,
   IP = IN (chứng minh trên)
   Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
   Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{PAI}=\widehat{NAI}$  (hai góc tương ứng).
   Do đó AI là tia phân giác của góc BAC.
   Mà $\widehat{BAC}=60°$  (do tam giác ABC đều).
   Nên $\widehat{PAI}=\widehat{NAI}=30°$ .
   Xét tam giác API vuông tại P có:  $\widehat{PAI}+\widehat{PIA}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
   Suy ra $\widehat{PIA}=90°-\widehat{PAI}=90°-30°=60°$
   Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{PIB}=60°$ .
   Xét ∆PIA và ∆PIB có:
   $\widehat{API}=\widehat{BPI}=90°$ ,
   PI là cạnh chung,
   $\widehat{PIA}=\widehat{PIB}$  (cùng bằng 60°)
   Do đó ∆PIA = ∆PIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
   Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng)
   • Chứng minh tương tự ta cũng có IB = IC.
   Do đó IA = IB = IC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
   +) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC.
   • Ta có ∆PIA = ∆PIB (chứng minh trên)
   Suy ra PA = PB (hai cạnh tương ứng).
   Do đó P là trung điểm của AB và điểm P cũng thuộc đường trung trực của AB.
   Lại có IA = IB nên điểm I thuộc đường trung trực của AB.
   CA = CB (do ∆ABC đều) nên điểm C thuộc đường trung trực của AB.
   Do đó ba điểm P, I, C thẳng hàng.
   Khi đó CP là đường trung truyến của tam giác ABC.
   • Chứng minh tương tự ta cũng có AM, BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
   Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP đều đi qua điểm I.
   Do đó I là trọng tâm tam giác ABC.
   Vậy I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc xOy. Gọi E, F là hai điểm nằm ngoài góc xOy sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng ME, Oy là đường trung trực của đoạn thẳng MF (Hình 55). Chứng minh: a) O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc xOy. Gọi E, F là hai điểm nằm ngoài góc xOy sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng ME, Oy là đường trung trực của đoạn thẳng MF (Hình 55).
   
   Chứng minh:
   a) O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.

   Trả lời:

   a) Trong tam giác EMF có O là giao điểm hai đường trung trực của ME và MF nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.
   Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác FEM.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. b) Nếu xOy^=30°  thì EOF^=60° .
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) Nếu $\widehat{xOy}=30°$  thì $\widehat{EOF}=60°$ .

   Trả lời:

   b)
   
   Gọi H là trung điểm của EM.
   Xét ∆OEH và ∆OMH có:
   $\widehat{OHE}=\widehat{OHM}\left(=90°\right)$,
   OH là cạnh chung,
   EH = MH (do H là trung điểm của EM).
   Do đó ∆OEH = ∆OMH (hai cạnh góc vuông).
   Suy ra $\widehat{\text{EOH}}=\widehat{MOH}$  (hai góc tương ứng).
   Do đó Ox là tia phân giác của góc EOM nên $\widehat{\text{EOx}}=\widehat{xOM}=\frac{1}{2}\widehat{\text{EOM}}$
   Hay $\widehat{EOM}=2\widehat{xOM}$  .
   Chứng minh tương tự ta cũng có: $\widehat{\text{FOy}}=\widehat{MOy}=\frac{1}{2}\widehat{\text{MOF}}$
   Hay $\widehat{MOF}=2\widehat{MOy}$  .
   Ta có $\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{MOF}=2\widehat{xOM}+2\widehat{MOy}$
   $=2\left(\widehat{xOM}+\widehat{MOy}\right)=2\widehat{xOy}=2.30°=60°$
   Vậy nếu $\widehat{xOy}=30°$  thì $\widehat{EOF}=60°$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC cân ở A có BAC^=120° . Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56). a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân ở A có $\widehat{BAC}=120°$ . Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56).
   
   a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

   Trả lời:

   

   a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.
   • Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{B}=\widehat{C}$ .
   Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = $\frac{1}{2}$ AB.
   Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = $\frac{1}{2}$ AC.
   Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.
   • Xét ∆AQI và ∆API có:
   $\widehat{AQI}=\widehat{API}\left(=90°\right)$,
   AI là cạnh chung,
   AQ = AP (chứng minh trên)
   Do đó ∆AQI = ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
   Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).
   • Xét ∆BQD và ∆CPE có:
   $\widehat{BQ\text{D}}=\widehat{CPE}\left(=90°\right)$,
    $\widehat{B}=\widehat{C}$(chứng minh trên),
   BQ = CP (chứng minh trên)
   Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
   Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).
   • Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.
   Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)
   Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
   Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. b) Đường tròn tâm I bán kính IA đi qua những điểm nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) Đường tròn tâm I bán kính IA đi qua những điểm nào?

   Trả lời:

   b) Vì I nằm trên đường trung trực của AB nên IA = IB.
   Vì I nằm trên đường trung trực của AC nên IA = IC.
   Suy ra IA = IB = IC
   Nên đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C
   Vậy đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====