Cho tam giác ABC vuông tại A, D là hình chiếu của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu của D xuống AB và AC. Các khẳng định sau là đúng hay sai?ABAC2=DBDCABAC3=BECFAD3=BC.EB.CF

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là hình chiếu của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu của D xuống AB và AC. Các khẳng định sau là đúng hay sai?${\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2=\frac{DB}{DC}$${\left(\frac{AB}{AC}\right)}^3=\frac{BE}{CF}$$A{D}^3=BC.EB.CF$

Trả lời:

Tất cả các khẳng định trên đều đúng vì$\left\{\begin{array}{c}A{B}^2=DB.BC\\ A{C}^2=DC.BC\end{array}\right.\Rightarrow {\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}=\frac{DB.BC}{DC.BC}=\frac{DB}{DC}\left(1\right)$$\left\{\begin{array}{c}D{B}^2=BE.AB\\ D{C}^2=CF.AC\end{array}\right.\Rightarrow {\left(\frac{DB}{DC}\right)}^2=\frac{D{B}^2}{D{C}^2}=\frac{BE.AB}{CF.AC}\left(2\right)$Từ (1) và (2) suy ra${\left(\frac{DB}{DC}\right)}^2={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^4=\frac{BE.AB}{CF.AC}\Rightarrow {\left(\frac{AB}{AC}\right)}^3=\frac{BE}{CF}$3.$\left\{\begin{array}{c}A{D}^2=DC.DB\Rightarrow A{D}^4=D{C}^2.D{B}^2\left(3\right)\\ D{C}^2=CF.AC\left(4\right)\\ D{B}^2=BE.AB\left(5\right)\\ AC.AB=AD.BC\left(6\right)\end{array}\right.$Thay (4), (5), (6) vào (3) ta suy ra $A{D}^3=BC.EB.CF$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC, biết rằng đường cao AH=61313cm,BC=13cm.Tính ABTính ACTính HBTính HC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC, biết rằng đường cao $AH=\frac{6\sqrt{13}}{13}cm,BC=\sqrt{13}cm$.Tính ABTính ACTính HBTính HC

   Trả lời:

   Gọi độ dài các cạnh AB, AC (AB<AC) lần lượt là x, y với x>y>0Khi đó ta có hệ $\left\{\begin{array}{c}AH.BC=AB.AC\\ \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x.y=6\left(1\right)\\ \frac{x^2+y^2}{{\left(xy\right)}^2}\left(2\right)\end{array}\right.$Giải hệ (1) và (2) suy ra $\left\{\begin{array}{c}x=AB=2\\ y=AC=3\end{array}\right.$Do đó $\begin{array}{l}A{B}^2=BC.BH\Rightarrow BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{9}{\sqrt{13}}cm\\ A{C}^2=BC.CH\Rightarrow CH=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{4}{\sqrt{13}}cm\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, tan C= 34và đường cao AH=12cmTính BHTính CHTính ABTính AC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, tan C= $\frac{3}{4}$và đường cao AH=12cmTính BHTính CHTính ABTính AC

   Trả lời:

   $\tan C=\cot B=\frac{BH}{AH}\Rightarrow BH=AH.\tan C=9cm$$\tan C=\frac{AH}{CH}\Rightarrow CH=\frac{AH}{\tan C}=16cm$$A{B}^2=BC.BH=(9+16).9=144\Rightarrow AB=12cm$$A{C}^2=BC.CH=(9+16).16=400\Rightarrow AC=20cm$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH=1cm, AC= 25cmTính BCTính ABTính AH
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH=1cm, AC= $2\sqrt{5}cm$Tính BCTính ABTính AH

   Trả lời:

   Gọi độ dài cạnh CH là x với x>0Khi đó ta có $A{C}^2=CH.BC\iff x(x+1)=20\iff \left[\begin{array}{c}x=4\left(nhận\right)\\ x=-5\left(loaị\right)\end{array}\right.$Do vậy BC=BH+CH=5cm$\begin{array}{l}A{B}^2=BH.BC=5\Rightarrow AB=\sqrt{5}cm\\ AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=2cm\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=3cm, AC=4cm, đường cao AH. Điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA=2IB, CI cắt AH tại E. Tính độ dài cạnh CE.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=3cm, AC=4cm, đường cao AH. Điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA=2IB, CI cắt AH tại E. Tính độ dài cạnh CE.

   Trả lời:

   Trong tam giác ABC vuông tại A ta có$\begin{array}{l}BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=5cm,CI=\sqrt{C{A}^2+A{I}^2}=2\sqrt{5}cm\\ CH=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{16}{5}cm,BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{9}{5}cm\\ AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12}{5}cm\end{array}$Kẻ $IF\perp BC\Rightarrow IF\parallel AH$ $\Rightarrow \Delta BFI~\Delta BHA$ nên $\frac{BI}{BA}=\frac{BF}{BH}\Rightarrow BF=\frac{1}{3}.BH=\frac{9}{15}cm$$\Rightarrow \Delta CHE~\Delta CFI$ nên $\frac{CE}{CI}=\frac{CH}{CF}\Rightarrow CE=\frac{CH.CI}{CF}=\frac{CH.CI}{BC.BF}=\frac{16\sqrt{5}}{11}cm$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là đường phân giác trong của góc A, khẳng định là đúng hay sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là đường phân giác trong của góc A, khẳng định là đúng hay sai?

   Trả lời:

   Vì AD là đường phân giác của góc A nên$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{DB+DC}=\frac{AB}{AB+AC}$$\Rightarrow DB=\frac{a.c}{b+c}$ và $DC=\frac{a.b}{b+c}$Ta phải chứng minh $A{D}^2=AB.AC-DB.DC$Thật vậy, trên tia đối AD lấy E sao cho $\widehat{CBE}=\widehat{DAC}=\widehat{DAB}$$\Rightarrow \Delta CED~\Delta ABD$ (g.g) suy ra $DB.DC=AD.DE$ và $\widehat{ABD}=\widehat{AEC}$$\Rightarrow \Delta ABD~\Delta AEC$ (g.g) suy ra $AB.AC=AD.AE$Do đó $AB.AC-DB.DC=AD(AE-DE)=A{D}^2$Khi đó$\begin{array}{l}A{D}^2=AB.AC-DB.DC\\ =bc-\left(\frac{ac}{b+c}\right).\left(\frac{ab}{b+c}\right)\\ =bc.\left(1-\frac{a^2}{{(b+c)}^2}\right)\\ =bc\left(\frac{b^2+c^2+2bc-a^2}{{(b+c)}^2}\right)\end{array}$Theo giả thiết tam giác ABC  vuông tại A nên $b^2+c^2=a^2$Do đó $A{D}^2=\frac{2b^2{c}^2}{{(b+c)}^2}\Rightarrow AD=\frac{\sqrt{2}}{b+c}bc$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====