Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (Ạ và C thuộc (O), B và D thuộc (O')). Tiếp tuyến chung trong MN cắt AB và CD theo thứ tự là E và F (M thuộc (O), N thuộc (O')). Chứng minh:a, AB = EFb, EM = FN

Câu hỏi:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (Ạ và C thuộc (O), B và D thuộc (O’)). Tiếp tuyến chung trong MN cắt AB và CD theo thứ tự là E và F (M thuộc (O), N thuộc (O’)). Chứng minh:a, AB = EFb, EM = FN

Trả lời:

a, Ta có AB = AE + BE = EM + ENVà CD = FD + FC = NF + NE=> AB + CD = 2EF => AB = EFb, Ta có EM = AB – EB = EF – EN = NF

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc (O) và (O') lần lượt ở B và C. Tiếp tuyến chung trong cắt BC ở I. Gọi E, F thứ tự là giao điểm của IO với AB và của IO' với ACa, Chứng minh A, E, I, F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm K của đường tròn nàyb, Chứng minh IE.IO + IF.IO' = 12AB2+AC2c, Gọi P là trung điểm của OA. Chứng minh PE tiếp xúc với (K)d, Cho OO' cố định và có độ dài 2a. Tìm điều kiện của R và R' để diện tích tam giác ABC lớn nhất 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc (O) và (O’) lần lượt ở B và C. Tiếp tuyến chung trong cắt BC ở I. Gọi E, F thứ tự là giao điểm của IO với AB và của IO’ với ACa, Chứng minh A, E, I, F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm K của đường tròn nàyb, Chứng minh IE.IO + IF.IO’ = $\frac{1}{2}\left(A{B}^2+A{C}^2\right)$c, Gọi P là trung điểm của OA. Chứng minh PE tiếp xúc với (K)d, Cho OO’ cố định và có độ dài 2a. Tìm điều kiện của R và R’ để diện tích tam giác ABC lớn nhất 

   Trả lời:

   a, Chứng minh tứ giác AEIF là hình chữ nhật và K là trung điểm AIb, Có IE.IO = $I{B}^2=\frac{B{C}^2}{4}$ và IF.IO’ = $I{C}^2=\frac{B{C}^2}{4}$=> 2.(IE.IO+IF.IO’) = $A{B}^2+A{C}^2$c, PK Là đường trung bình của ∆OAI và là trung trực của EATa có ∆PEK = ∆PAK nên $\widehat{PEK}=\widehat{PAK}$Vậy $\widehat{PEK}={90}^0$ => đpcmd, ∆ABC:∆IOO’ => $\frac{S_{ABC}}{S_{IOO‘}}={\left(\frac{BC}{OO‘}\right)}^2$ => $S_{ABC}=\frac{S_{IOO‘}.B{C}^2}{OO{‘}^2}$mà BC = 2AI’; OO’ = 2a; $S_{OIO‘}=\frac{1}{2}.2a.IA=a.IA$ => $S_{ABC}=\frac{I{A}^2}{a}$$I{A}^2=RR‘⩽{\left(\frac{R+R^{‘}}{2}\right)}^2=a^2$ => IA lớn nhất bằng a khi R=R’

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A trên (O). Trên đoạn OA lấy điểm B sao cho OB = 13OAa, Chứng minh đường tròn đường kính AB tiếp xúc với (O)b, Đường tròn (O; R') với R  R' cắt đường tròn đường kính AB tại C. Tia AC cắt hai đường tròn đổng tâm tại D và E với D nằm giữa C và E. Chứng minh AC = CD = DE
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; R) và một điểm A trên (O). Trên đoạn OA lấy điểm B sao cho OB = $\frac{1}{3}$OAa, Chứng minh đường tròn đường kính AB tiếp xúc với (O)b, Đường tròn (O; R’) với R  R’ cắt đường tròn đường kính AB tại C. Tia AC cắt hai đường tròn đổng tâm tại D và E với D nằm giữa C và E. Chứng minh AC = CD = DE

   Trả lời:

   a, Gọi I là trung điểm của AB, ta có: OI = OA – IAb, Ta chứng minh được IC//BD//OEMà OB = BI = IA => AC = CD = DE

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm nằm giữa A và O.  Vẽ đường tròn (I) có đường kính CBa, Xét vị trí tương đối của (O) và (I)b, Kẻ dây DE của (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì?c, Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng DB và (I). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàngd, Chứng minh HK là tiếp tuyến của (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm nằm giữa A và O.  Vẽ đường tròn (I) có đường kính CBa, Xét vị trí tương đối của (O) và (I)b, Kẻ dây DE của (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì?c, Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng DB và (I). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàngd, Chứng minh HK là tiếp tuyến của (1)

   Trả lời:

   a, (O) và (I) tiếp xúc trong với nhaub, Tứ giác ADCE là hình thoic, Có CK$\perp$AB, AD$\perp$DB=> CK//AD mà CE//AD=> B,K,D thẳng hàngd, $\widehat{HKD}=\widehat{HDK};\widehat{IKB}=\widehat{IBK}$=> $\widehat{HKD}+\widehat{IKB}=\widehat{IBK}+\widehat{HDK}={90}^0$=> $\widehat{IKH}={90}^0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====