a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây cung căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng. b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy và ngược lại.

Câu hỏi:

 a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây cung căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy và ngược lại.

Trả lời:

a)

Vẽ đường tròn tâm O, dây cung AB.
Gọi I là điểm chính giữa của cung AB.

Gọi OI ∩ AB = H.
ΔAOH và ΔBOH có: AO = OB, $\widehat{{\text{O}}_1}=\widehat{{\text{O}}_2}$ ; OH chung
⇒ ΔAOH = ΔBOH (c-g-c)
⇒ AH = BH (hai cạnh tương ứng)
⇒ OI đi qua trung điểm H của AB.
+ Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung đó.
Mệnh đề sai
Ví dụ: Chọn dây cung AB là một đường kính của (O) (AB đi qua O). Khi đó, tồn tại đường kính CD đi qua O là trung điểm của AB nhưng C,D không phải là điểm chính giữa cung AB ( hình vẽ)

Mệnh đề đảo chỉ đúng khi dây cung AB không phải đường kính.
b)

+ Cho đường tròn (O); dây cung AB ;
I là điểm chính giữa cung  , H = OI ∩ AB.
⇒ ΔAOH = ΔBOH (cm phần a).

⇒ OH ⊥ AB.
Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.
+ Cho đường tròn (O); dây cung AB.
Kẻ đường thẳng OH ⊥ AB (H ∈ AB) cắt đường tròn tại I.
Ta có: ΔABO cân tại O (vì AO = OB = R).
⇒ đường cao OH đồng thời là đường phân giác

⇒ I là điểm chính giữa của cung 
Vậy đường kính vuông góc với dây căng cung thì đi qua điểm chính giữa của cung.
Kiến thức áp dụng

+ Điểm chính giữa cung là điểm chia cung thành hai cung bằng nhau.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hãy chứng minh định lý trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy chứng minh định lý trên.

   Trả lời:

   Xét ΔOAB và ΔOCD có:OA = OC = ROB = OD = R⇒ ΔOAB = ΔOCD (c.g.c)⇒ AB = CD ( hai cạnh tương ứng)b) AB = CD ⇒ Xét ΔOAB và ΔOCD có:OA = OC = RAB = CD (gt)OB = OD = R⇒ ΔOAB = ΔOCD (c.c.c)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Xem hình 11.Hãy viết giả thiết và kết luận của định lý(Không yêu cầu học sinh chứng minh định lý này)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xem hình 11.Hãy viết giả thiết và kết luận của định lý(Không yêu cầu học sinh chứng minh định lý này)

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60o. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet?b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12?Hình 12
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60o. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet?b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12?Hình 12

   Trả lời:

   a) + Dùng compa vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm.+ Trên đường tròn lấy điểm A.Nối OA từ đó vẽ góc Khi đó ta được cung AB có số đo bằng $60º.$+ ΔAOB có OA = OB,⇒ ΔAOB đều⇒ AB = OA = OB = R = 2cm.b) Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau:+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R.+ Trên đường tròn tâm O, lấy điểm A.+ Vẽ cung tròn tâm A, bán kính R cắt đường tròn tại B và C.+ Vẽ cung tròn tâm B và C bán kính R cắt đường tròn tâm O tại giao điểm thứ hai là D và E.+ Vẽ cung tròn tâm E bán kính R cắt đường tròn (O) tại giao điểm thứ hai là F.Khi đó, ta chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O').a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.b) Chứng mình rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: BE^=BD^) )
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’).a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.b) Chứng mình rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: $\widehat{\text{BE}}=\widehat{\text{BD}})$ )

   Trả lời:

   a) Vì A,B,C ∈ (O)⇒ BO = OA = OC⇒ BO = AC/2.Tam giác ABC có đường trung tuyến BO và BO bằng một phần hai độ dài cạnh tương ứng AC=> Tam giác ABC là tam giác vuông tại B ( định lí)⇒ Chứng minh tương tựĐường tròn tâm O và O’ bằng nhau ⇒ AC = AD.(AC,AD lần lượt là bán kính của (O) và (O’))Xét hai tam giác vuông ΔABC và ΔABD có:AB chung, AC = AD⇒ ΔABC = ΔABD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)⇒ BC = BD(hai cạnh tương ứng)⇒ ( định lý )b) Xét tam giác AED có đường trung tuyến EO’ bằng một phần hai cạnh tương ứng là AD ( O’E = O’A = O’D = AD/2)=> Tam giác AED vuông tại E⇒ ⇒ ΔECD vuông tại E.Ta có:Suy ra: C, B, D thẳng hàng.Tam giác ECD vuông có EB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền( Vì BC = BD câu (a) )⇒ EB = BD (CD/2).⇒ (định lý) hay B là điểm chính giữa cung Kiến thức áp dụng+ Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau thì hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H ∈ BC, K ∈ BD)a) Chứng minh rằng OH > OK.b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H ∈ BC, K ∈ BD)a) Chứng minh rằng OH > OK.b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

   Trả lời:

   a) Xét ΔABC có: BC < AB + AC (Bất đẳng thức tam giác)Mà AD = AC (gt)⇒ BC < AB + AD = BDMà OH là khoảng cách từ O đến dây BCOK là khoảng cách từ O đến dây BD⇒ OH > OK.( định lý về khoảng cách từ tâm đến dây)b) Vì BD > BC⇒ Kiến thức áp dụng+ Trong một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn+ Trong một đường tròn, dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====