Cho x, y là hai số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 4x2y2x2+y2+x2y2+y2x2

Câu hỏi:

Cho x, y là hai số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = $\frac{4x^2{y}^2}{\left(x^2+y^2\right)}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}$

Trả lời:

Biến đổi M, ta đượcM = $\frac{4x^2{y}^2}{\left(x^2+y^2\right)}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}$ = $\frac{4}{{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)}^2}+{\left(\frac{x}{y}\right)}^2+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2$Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{x}$ ta được ab = 1, suy ra $a^2+b^2\ge 2$Từ đó ta cóM = $\frac{4}{{\left(a+b\right)}^2}+a^2+b^2$ = $\frac{4}{a^2+b^2+2}+\frac{a^2+b^2+2}{4}$ $+\frac{3\left(a^2+b^2+2\right)}{4}–2$ ≥ 2 + 3 – 2 = 3Dấu “=” xảy ra <=> a = b = ±1 <=> 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho các biểu thức:A = x-3xx+2 và B = xx-3-3x+3:x+92x+6với x ≥ 0 và x ≠ 9a, Tính giá trị của A khi x = 25b, Rút gọn Bc, Tìm các giá trị x nguyên để A.B có giá trị nguyên
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các biểu thức:A = $\frac{x–3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$ và B = $\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}–3}–\frac{3}{\sqrt{x}+3}\right):\frac{x+9}{2\sqrt{x}+6}$với x ≥ 0 và x ≠ 9a, Tính giá trị của A khi x = 25b, Rút gọn Bc, Tìm các giá trị x nguyên để A.B có giá trị nguyên

   Trả lời:

   a, Thay x = 25, ta tính được A = $\frac{10}{7}$b, Rút gọn được B = $\frac{2}{\sqrt{x}–3}$
   c, Ta có A.B = $2–\frac{4}{\sqrt{x}+2}$  => $\sqrt{2}+2\in Ư\left(4\right)$. Từ đó tìm được x = 0, x = 4

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:Một đội xe theo kế hoạch phải chở hết 200 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 4 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:Một đội xe theo kế hoạch phải chở hết 200 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 4 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm

   Trả lời:

   Gọi thời gian đội chở hàng và số hàng đội cần chở mỗi ngày theo kế hoạch lần lượt là x (ngày) và y (tấn/ngày)ĐK: x$\in$N*; x > 1Theo đề bài ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}xy=200\\ \left(x–1\right)\left(y+4\right)=216\end{array}\right.$Giải ra ta được x = 10; y = 20 (TMĐK)Kết luận

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. a, Giải hệ phương trình: x+1y-1=xy-1x-3y-3=xy-3b, Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho prabol (P): y=x2 và đường thẳng d: y=2x+m2-2m. Tìm các giá trị của m để d cắt (P) cắt tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung Oy 
   
   

   Câu hỏi:
   

   a, Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y–1\right)=xy–1\\ \left(x–3\right)\left(y–3\right)=xy–3\end{array}\right.$b, Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho prabol (P): $y=x^2$ và đường thẳng d: $y=2x+m^2–2m$. Tìm các giá trị của m để d cắt (P) cắt tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung Oy 

   Trả lời:

   a, Biến đổi hệ phương trình ban đầu ta được hệ $\left\{\begin{array}{l}x–y=0\\ 3x+3y=12\end{array}\right.$Từ đó tìm được x = 2, y = 2b, Phương trình hoành độ giao điểm của d và (p):$x^2–2x–m^2+2m=0$ (1)d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung Oy <=> (1) có hai nghiệm trái dấu. Từ đó tìm được Kết luận 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H (HB &lt; R). Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC, toa AM cắt đường thăng CD tại N; MB cắt CD tại Ea, Chứng minh các tứ giác AMEH và MNBH nội tiếpb, Chứng minh NM.NA = NC.ND = NE.NHc, Nối BN cắt (O) tại K (K ≠ B). Đường thẳng KH cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh ba điểm A, E, K thẳng hàng và ∆AMF cân.d, Chứng minh rằng khi M di dộng trên cung nhỏ AC thì I luôn thuộc một đường tròn cố định
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H (HB < R). Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC, toa AM cắt đường thăng CD tại N; MB cắt CD tại Ea, Chứng minh các tứ giác AMEH và MNBH nội tiếpb, Chứng minh NM.NA = NC.ND = NE.NHc, Nối BN cắt (O) tại K (K ≠ B). Đường thẳng KH cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh ba điểm A, E, K thẳng hàng và ∆AMF cân.d, Chứng minh rằng khi M di dộng trên cung nhỏ AC thì I luôn thuộc một đường tròn cố định

   Trả lời:

   a, HS tự chứng minhb, Chứng minh ∆NMC:∆NDA và ∆NME:∆NHAc, Chứng minh ∆ANB có E là trực tâm => AE$\perp$BN mà có AK$\perp$BN nên có ĐPCMChứng minh tứ giác EKBH nội tiếp, từ đó có $\widehat{AKF}=\widehat{ABM}$d, Lấy P và G lần lượt là trung điểm của AC và OPChứng minh I thuộc đường tròn (G, GA)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====