Cho hàm số fx=sinx,khi   cosx≥01+cosx,khi   cosx

Câu hỏi:

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin x,khi\cos x\ge 0\\ 1+\cos x,khi\cos x<0\end{array}\right.$ Hàm số f có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng $\left(0;2019\right)$ ?

A. 2018 

B. 1009

C. 542

D. 321

Đáp án chính xác

Trả lời:

Xét hàm số f(x)  trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$, khi đó $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin x,khix\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\cup \left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]\\ 1+\cos x,khix\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)\end{array}\right.$
Ta có $\lim x\to 0^{+}f\left(x\right)=0=f\left(0\right);\lim x\to 2{\pi }^{-}f\left(x\right)=0=f\left(2\pi \right)$
Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng $\left[0;\frac{\pi }{2}\right);\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ và $\left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$
Ta xét tại $x=\frac{\pi }{2}$
$\lim x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}f\left(x\right)=\lim x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}\left(1+\cos x\right)=1;\lim x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}f\left(x\right)=\lim x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}\sin x=1;f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$
Như vậy $\lim x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}f\left(x\right)=\lim x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}f(x=f\left(\frac{\pi }{2}\right)$nên hàm số f(x)  liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{2}$
Ta xét tại $x=\frac{3\pi }{2}$
$\lim x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}f\left(x\right)=\lim x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}\sin x=-1;\lim x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}f\left(x\right)=\lim x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}\left(1+\cos x\right)=1$
Vì $\lim x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}f\left(x\right)\ne \lim x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}f\left(x\right)$ nên hàm số f(x)  gián đoạn tại điểm $x=\frac{3\pi }{2}$
Do đó, trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$ hàm số chỉ gián đoạn tại điểm $x=\frac{3\pi }{2}$.
Do tính chất tuần hoàn của hàm số $y=\cos x$ và $y=\sin x$ suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Ta có $x\in \left(0;2018\right)\iff 0<\frac{3\pi }{2}+k2\pi <2018\iff -\frac{3}{4}<k<\frac{1009}{\pi }-\frac{3}{4}\approx 320,42$
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{0,1,2,\mathrm{\dots },320\right\}$. Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng $\left(0;2018\right)$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số  fx=x3−27×2−x−6,  khi  x≠3275,  khi   x=3  Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số
    $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3-27}{x^2-x-6},khix\ne 3\\ \frac{27}{5},khix=3\end{array}\right.$
   Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3 

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Hàm số xác định trên R 
   Ta có $f\left(3\right)=\frac{27}{5}$ và $\lim x\to 3f\left(x\right)=\lim x\to 3\frac{x^3-27}{x^2-x-6}=\lim x\to 3\frac{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}$
   $=\lim x\to 3\frac{x^2+3x+9}{x+2}=\frac{27}{5}$

                 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số fx−x−32x+3−3khi   x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)-\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{\sqrt{2x+3}-3}khix<3\\ {\left(x-1\right)}^{2}khix\ge 3\end{array}\right.$ . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3 

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta có $\lim x\to 3^{+}f\left(x\right)=\lim x\to 3^{+}{\left(x-1\right)}^2=4$
   $\lim x\to 3^{-}=\lim x\to 3^{-}\frac{x-3}{\sqrt{2x+3}-3}=\lim x\to 3^{-}\frac{\sqrt{2x+3}+3}{2}=3$

   Do đó $\lim x\to 3^{-}f\left(x\right)\ne \lim x\to 3^{+}f\left(x\right)$
   Vậy hàm số gián đoạn tại x=3 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số fx=4×3−2x−2,khi   x≠2a,khi   x=2 . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{4x3-2}{x-2},khix\ne 2\\ a,khix=2\end{array}\right.$ . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2 

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Hàm số xác định trên R
   Ta có $f\left(2\right)=a$  và $\lim x\to 2f\left(x\right)=\lim x\to 2\frac{4x3-2}{x-2}=\lim x\to 2\frac{4}{{\left(4x\right)}^{2}3+24x3+4}=\frac{1}{3}$
   Vậy để hàm số liên tục tại điểm x=2  thì $\lim x\to 2f\left(x\right)=f\left(2\right)\iff a=\frac{1}{3}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số fx=x4−5×2+4×3+1khi   x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^4-5x^2+4}{x^3+1}khix<-1\\ m^2{x}^2+2mx-5khix\ge -1\end{array}\right.$
   Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x=-1

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Hàm số xác định trên R
   Ta có: $\lim x\to -1^{-}f\left(x\right)=\lim x\to -1^{-}\frac{x^4-5x^2+4}{x^3+1}=\lim x\to -1^{-}\frac{\left(x-1\right)\left(x^2-4\right)}{x^2-x+1}=2$

   $\lim x\to -1^{+}f\left(x\right)=\lim x\to -1^{+}\left(m^2{x}^2+2mx-5\right)=m^2-2m-5=f\left(-1\right)$

   Hàm số liên tục tại x=-1 khi và chỉ khi
    $\lim x\to -1^{+}f\left(x\right)=\lim x\to -1^{-}f\left(x\right)=f\left(-1\right)$ $\iff m^2-2m-5=2\Rightarrow m=1\pm \sqrt{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số fx=x2−1x+1,khi   x≠−12,khi   x=−1 Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x+1},khix\ne -1\\ 2,khix=-1\end{array}\right.$

   Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Hàm số xác định trên D=R 
   Với $x\ne -1$  thì $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x+1}=x-1$ là hàm số liên tục trên tập xác định.
   Do đó hàm số liên tục trên $\left(-\infty ;-1\right)$  và $\left(-1;+\infty \right)$
   Với x= -1 ta có $\lim x\to -1f\left(x\right)=\lim x\to -1\frac{x^2-1}{x+1}=\lim x\to -1\left(x-1\right)=-2$
   Vì $f\left(-1\right)=2\ne \lim x\to -1f\left(x\right)$
   Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$  và $\left(-1;+\infty \right)$ ; hàm số không liên tục tại điểm x=-1

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====