Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng: Tổng 1DI2+1DK2 không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
Tổng $\frac{1}{D{I}^2}+\frac{1}{D{K}^2}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Trả lời:

Trong tam giác DKL vuông tại D với đường cao DC. Theo định lí 4, ta có:

không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. (đpcm)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

   Trả lời:

   
   ΔABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và đường cao AH như trên hình.
   Theo định lí Pitago ta có:
   
   Mặt khác, AB2 = BH.BC (định lí 1)
   
   Theo định lí 3 ta có: AH.BC = AB.AC
   
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

   Trả lời:

   
   ΔABC vuông tại A và đường cao AH như trên hình.
   BC = BH + HC = 1 + 2 = 3
   Theo định lí 1: AB2 = BH.BC = 1.3 = 3
   => AB = √3
   Theo định lí 1: AC2 = HC.BC = 2.3 = 6
   => AC = √6
   Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √3 và √6.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau: Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng. Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.  
   
   

   Câu hỏi:
   

   Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:
   Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
   Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
   
    

   Trả lời:

   – Cách 1: (h.8)
   
   Theo cách dựng, ΔABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC, do đó ΔABC vuông tại D.
   Vì vậy AH2 = BH.CH hay x2 = ab
   Đây chính là hệ thức (2) hay cách vẽ trên là đúng.
   – Cách 2: (h.9)
   
   Theo cách dựng, ΔDEF có đường trung tuyến DO bằng một nửa cạnh EF, do đó ΔDEF vuông tại D.
   Vậy DE2 = EI.EF hay x2 = a.b
   Đây chính là hệ thức (1) hay cách vẽ trên là đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm x và y trong mỗi hình sau:  
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm x và y trong mỗi hình sau:
   
    

   Trả lời:

   a) Theo định lí 2 ta có:
       x2 = 4.9 = 36 => x = 6
   b) Vì đường cao chia cạnh huyền thành hai nửa bằng nhau nên nó đồng thời là đường trung tuyến. Mà trong tam giác vuông, đường tuyến bằng nửa cạnh huyền nên nên x = 2.
   Theo định lí Pitago ta có:
   
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng: Tam giác DIL là một tam giác cân
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
   Tam giác DIL là một tam giác cân

   Trả lời:

   Xét hai tam giác vuông ADI và CDL có:
   AD = CD (cạnh hình vuông)
   
   Nên ΔADI = ΔCDL (cạnh góc cuông và góc nhọn)
   Suy ra DI = DL hay ΔDIL cân. (đpcm)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====