Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là x2a2+y2b2=1, trong đó a > b > 0. Cho điểm M(x; y) nằm trên (E) (Hình 3). a) Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm toạ độ của điểm M1. Điểm M1 có nằm trên (E) hay không? Tại sao? b) Gọi M2 là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Tìm toạ độ của điểm M2. Điểm M2 có nằm trên (E) hay không? Tại sao? c) Gọi M3 là điểm đối xứng của M qua gốc O. Tìm toạ độ của điểm M3. Điểm M3 có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

Câu hỏi:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ trong đó a > b > 0. Cho điểm M(x; y) nằm trên (E) (Hình 3).

a) Gọi M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm toạ độ của điểm M₁. Điểm M₁ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?
b) Gọi M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Tìm toạ độ của điểm M₂. Điểm M₂ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?
c) Gọi M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O. Tìm toạ độ của điểm M₃. Điểm M₃ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

Trả lời:

Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (E) nên ta có: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$
a) M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M₁ có toạ độ là (x; –y).
Ta có $\frac{x^2}{a^2}+\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$ Do đó M₁ cũng thuộc (E).
b) M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M₂ có toạ độ là (–x; y).
Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$ Do đó M₂ cũng thuộc (E).
c) M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M₃ có toạ độ là (–x; –y).
Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$ Do đó M₃ cũng thuộc (E).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho elip có phương trình chính tắc x2a2+y2b2=1 (H.3.1). a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ. b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x0; y0) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc elip. c) Với điểm M(x0; y0) thuộc elip, hãy so sánh OM2 với a2, b2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (H.3.1).
   
   a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.
   b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.
   c) Với điểm M(x₀; y₀) thuộc elip, hãy so sánh OM² với a², b².

   Trả lời:

   
   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

   Trả lời:

   Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).
   Theo đề bài ta có:
   – Độ dài trục lớn bằng 10, suy ra 2a = 10, suy ra a = 5.
   – Elip có một tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 16.
   Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. (Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x2 + y2 = a2 và số k (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x0; y0) thuộc đường tròn, gọi H(x0; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5). a) Tính toạ độ của N theo x0; y0; k. b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc x2a2+y2(ka)2=1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   (Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x² + y² = a² và số $k$ (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn, gọi H(x₀; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5).
   a) Tính toạ độ của N theo x₀; y₀; k.
   b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\left(ka\right)}^2}=1$.

   Trả lời:

   a) Gọi toạ độ của N là (x_N; y_N­). Khi đó $\overrightarrow{HN}=\left(x_N-x_0;y_N-0\right)=\left(x_N-x_0;y_N\right).$
   Vì HN = kHM nên $\overrightarrow{HN}=k\overrightarrow{HM}.$ Mà $\overrightarrow{HM}=\left(x_0-x_0;y_0-0\right)=\left(0;y_0\right)$ nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_N-x_0=k.0\\ y_N=k.y_0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_N=x_0\\ y_N=k{y}_0\end{array}\right..$
   b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có $x_0^2+y_0^2=a^2.$
   Do đó $\frac{x_N^2}{a^2}+\frac{y_N^2}{{\left(ka\right)}^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{\left(k{y}_0\right)}^2}{{\left(ka\right)}^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}=\frac{x_0^2+y_0^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1.$
   Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\left(ka\right)}^2}=1$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho elip có hai tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y). a) Tính MF12 – MF22. b) Khi điểm M thuộc elip (MF1 + MF2 = 2a), tính MF1 – MF2, MF1, MF2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho elip có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y).
   a) Tính MF₁² – MF₂².
   b) Khi điểm M thuộc elip (MF₁ + MF₂ = 2a), tính MF₁ – MF₂, MF₁, MF₂.

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho elip x236+y220=1, điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho elip $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$, điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

   Trả lời:

   Có a² = 36, suy ra a = 6.
   $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-20}=\sqrt{16}=4.$
   Gọi toạ độ của M là (x; y).
   Ta xét khoảng cách từ M đến F₁.
   Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = 6 + $\frac{4}{6}$x = 6 + $\frac{2}{3}$x.
   Mặt khác, vì M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 6
    $\Rightarrow -\frac{2}{3}.6\le \frac{2}{3}x\le \frac{2}{3}.6\Rightarrow -4\le \frac{2}{3}x\le 4\Rightarrow 2\le 6+\frac{2}{3}x\le 10.$
   Vậy 2 ≤ MF₁ ≤ 10.
   Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng 2 khi M có hoành độ bằng –6, lớn nhất bằng 10 khi M có hoành độ bằng 6.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====