Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC=R3 cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.a)     Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp.

Câu hỏi:

Cho đường tròn (O; R) và dây cung $BC=R\sqrt{3}$ cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.a)     Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp.

Trả lời:

a, Ta có AKB =AEB  (vì cùng chắn cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB)Mà ABE =AEB  (tính chất đối ứng) suy ra AKB= ABE (1)AKC= AFC (vì cùng chắn cung AC của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC)ACF= AFC  (tính chất đối xứng)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2 + 4 và n2 +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n² + 4 và n² +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.

   Trả lời:

   Ta có với mọi số nguyên m thì m² chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4.+ Nếu n² chia cho 5 dư 1 thì  $n^2=5k+1=>n^2+4=5k+5⋮5;k\in N^{*}.$Nên n²+4 không là số nguyên tố+ Nếu n² chia cho 5 dư 4 thì $n^2=5k+4=>n^2+16=5k+20⋮5;k\in N^{*}.$Nên n²+16 không là số nguyên tố. Vậy n² $⋮$ 5 hay n $⋮$5

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2−2y(x−y)=2(x+1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2-2y(x-y)=2(x+1)$

   Trả lời:

   $x^2-2y(x-y)=2(x+1)<=>x^2-2(y+1)x+2(y^2-1)=0\left(1\right)$Để phương trình (1) có nghiệm nguyên x thì D’ theo y phải là số chính phương+ Nếu $\Delta ‘=4=>{(y-1)}^2=0<=>y=1$ thay vào phương trình (1) ta có :$x^2-4x=0<=>x(2-4)<=>\left[\begin{array}{l}x=0\\ x-4\end{array}\right.$+ Nếu $\Delta ‘=1=>{(y-1)}^2=3<=>y\notin Z.$+ Nếu $\Delta ‘=0=>{(y-1)}^2=4<=>\left[\begin{array}{l}y=3\\ y=-1\end{array}\right.$+ Với y = 3 thay vào phương trình (1) ta có:  $x^2-8x+16=0<=>{(x-4)}^2=0<=>x=4$+ Với y = -1 thay vào phương trình (1) ta có: $x^2=0<=>x=0$Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên $(x;y)\in \text{{(0;1);(4;1);(4;3);(0;-1)}}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Rút gọn biểu thức: A=2(3+5)22+3+5+2(3−5)22−3−5
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{5})}{2\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}+\frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{5})}{2\sqrt{2}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}$

   Trả lời:

   $A=\frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{5})}{2\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}+\frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{5})}{2\sqrt{2}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}2\left[\frac{3+\sqrt{5}}{4+\sqrt{{(\sqrt{5}+1)}^2}}+\frac{3-\sqrt{5}}{4-\sqrt{{(\sqrt{5}-1)}^2}}\right]=2\left(\frac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}+\frac{3-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}\right)2\left[\frac{(3+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}\right]=2\left(\frac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5+15+3\sqrt{5}-5\sqrt{5}-5}{25-5}\right)=2.\frac{20}{20}=2Vậy A=2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm m để phương trình: (x−2)(x−3)(x+4)(x+5)=m có 4 nghiệm phân biệt
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm m để phương trình: $(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=m$ có 4 nghiệm phân biệt

   Trả lời:

   Phương trình $\begin{array}{l}(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=m\\ <=>(x^2+2x-8)(x^2+2x-15)=m\left(1\right)\end{array}$Đặt $x^2+2x+1={(x+1)}^2=y(y\ge 0)$ phương trình (1) trở thành:$(y-9)(y-16)=m<=>y^2-25y+144-m=0\left(2\right)$Nhận xét: Với mỗi giá trị y > 0 thì phương trình: (x+1)²=y có 2 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệtÛ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.$\left\{\begin{array}{l}\Delta ‘>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}\Delta ‘=4m+49>0\\ 25>0\\ 144-m>0\end{array}\right.<=>\frac{-49}{4}<n<144$Vậy với $\frac{-49}{4}<n<144$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.  

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải phương trình: x2−x−4=2x−1(1−x)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình: $x^2-x-4=2\sqrt{x-1}(1-x)$

   Trả lời:

   Điều kiện: $x\ge 1(*)$Ta có: $\begin{array}{l}{x}^2-x-4=2\sqrt{x-1}(1-x)\\ <=>x^2+2x\sqrt{x-1}+x-1-2(x+\sqrt{x-1})-3=0\end{array}$Đặt: $x+\sqrt{x-1}=y(y\ge 1)(**)$ phương trình trở thành $y^2-2y-3=0$$y^2-2y-3=0<=>(y+1)(y-3)=0<=>\left[\begin{array}{l}y=-1\\ y=3\end{array}\right.$+ Với y = -1 không thỏa mãn điều kiện (**). + Với y = 3 ta có phương trình:$x+\sqrt{x-1}=3<=>\sqrt{x-1}=3-x<=>\left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x-1=9-6x+x^2\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x^2-7x+10=0\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=5\end{array}\right.\end{array}\right.<=>x=2$thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====