Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a +b ¹ 0 . Tính giá trị của biểu thức:P=1(a+b)3(1a3+1b3)+3(a+b)4(1a2+1b2)+6(a+b)5(1a+1b)

Câu hỏi:

Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a +b ¹ 0 . Tính giá trị của biểu thức:$P=\frac{1}{{(a+b)}^3}(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3})+\frac{3}{{(a+b)}^4}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})+\frac{6}{{(a+b)}^5}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Trả lời:

Với ab = 1 , a + b ¹ 0, ta có:$\begin{array}{l}P=\frac{a^3+b^3}{{(a+b)}^3{\left(ab\right)}^3}+\frac{3(a^2+b^2)}{{(a+b)}^4{\left(ab\right)}^2}+\frac{6(a+b)}{{(a+b)}^5\left(ab\right)}\\ =\frac{a^3+b^3}{{(a+b)}^3}+\frac{3(a^2+b^2)}{{(a+b)}^4}+\frac{6(a+b)}{{(a+b)}^5}\\ =\frac{a^2+b^2-1}{{(a+b)}^2}+\frac{3(a^2+b^2)}{{(a+b)}^4}+\frac{6}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{(a^2+b^2-1){(a+b)}^2+3(a^2+b^2)+6}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{(a^2+b^2-1)(a^2+b^2+2)+3(a^2+b^2)+6}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{{(a^2+b^2)}^2+4(a^2+b^2)+4}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{{(a^2+b^2+2)}^2}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{{(a^2+b^2+2ab)}^2}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{{\left[{(a+b)}^2\right]}^2}{{(a+b)}^4}\\ =1\end{array}$Vậy P = 1, với ab = 1 , a+b ¹ 0.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Giải phương trình: 2×2+x+3=3xx+3
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình: $2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}$

   Trả lời:

   Điều kiện: x ³ -3Với điều kiện trên, phương trình trở thành:$\begin{array}{l}2x^2-3x\sqrt{x+3}+{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2=0\\ <=>2x^2-2x\sqrt{x+3}+{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2-x\sqrt{x+3}=0\\ <=>2x(x-\sqrt{x+3})-\sqrt{x+3}(x-\sqrt{x-3})=0\\ <=>(x-\sqrt{x+3})(2x-\sqrt{x+3})=0\\ <=>\left[\begin{array}{l}\sqrt{x+3}=x\left(1\right)\\ \sqrt{x+3}=2x\left(2\right)\end{array}\right.\\ •\left(1\right):\sqrt{x+3}=x<=>\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+3=x^2\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \left[\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\ x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.<=>x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\ •\left(2\right):\sqrt{x+3}=2x<=>\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+3=4x^2\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{-3}{4}\end{array}\right.\end{array}\right.<=>x=1\end{array}$So với điều kiện ban đầu, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là: $S=\left\{1;\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right\}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O . Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D . Kẻ đường kính AE . Chứng minh rằng:a, Chứng minh BA.BC =2.BD. BE
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O . Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D . Kẻ đường kính AE . Chứng minh rằng:a, Chứng minh BA.BC =2.BD. BE

   Trả lời:

   a)    Chứng minh BA . BC = 2BD . BE· Ta có: DBA+ ABC = 90⁰ , EBM +ABC = 90⁰Þ DBA =EBM (1)· Ta có: DONA = DOME (c-g-c)Þ EAN= MEOTa lại có: DAB +BAE+ EAN  = 90⁰, và BEM +BAE +MEO  = 90⁰Þ DAB= BEM (2)· Từ (1) và (2) suy ra DBDA đồng dạng DBME (g-g)$\begin{array}{l}=>\frac{BD}{BM}=\frac{BA}{BE}=>DB.BE=BA.BM=\frac{BA.BC}{2}\\ =>2BD.BE=BA.BC\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O . Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D . Kẻ đường kính AE . Chứng minh rằng:b)      CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O . Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D . Kẻ đường kính AE . Chứng minh rằng:b)      CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC .

   Trả lời:

   b)    CD đi qua trung điểm của đường cao AH của D ABC· Gọi F là giao của BD và CA.Ta có BD.BE= BA.BM (cmt)$\begin{array}{l}=>\frac{BD}{BA}=\frac{BM}{BE}=>\Delta BDM~\Delta BAE(c-g-c)\\ =>BMD=BEA\end{array}$Mà BCF=BEA(cùng chắn AB)=>BMD=BCF=>MD//CF=>D là trung điểm BF· Gọi T là giao điểm của CD và AH .DBCD có TH //BD $=>\frac{TH}{BD}=\frac{CT}{CD}$ (HQ định lí Te-let) (3)DFCD có TA //FD $=>\frac{TA}{FD}=\frac{CT}{CD}$ (HQ định lí Te-let) (4)Mà BD= FD (D là trung điểm BF ) (5)· Từ (3), (4) và (5) suy ra TA =TH ÞT là trung điểm AH .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====