Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm. Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |PA – PB|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3 . 108 m/s. a) Lập phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu. b) Chứng tỏ rằng tại mọi thời điểm trên quỹ đạo chuyển động thì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.

Câu hỏi:

Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.

Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |PA – PB|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3 . 10⁸ m/s.
a) Lập phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu.
b) Chứng tỏ rằng tại mọi thời điểm trên quỹ đạo chuyển động thì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.

Trả lời:

a) Vì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s nên tại thời điểm đó PB – PA = (3 . 10⁸) . 0,0012 = 360000 (m) = 360 (km).
Vì con tàu chuyển động với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm nên |PA – PB| = 360 (km) với mọi vị trí của P.
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB và trục Ox trùng với AB, đơn vị trên hai trục là km thì hypebol này có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).
Vì |PA – PB| = 360 nên 2a = 360, suy ra a =180.
Theo đề bài, AB = 650, suy ra 2c = 650, suy ra c = 325.
b² = c² – a² = 325² – 180² = 73225.
Vậy phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là $\frac{x^2}{32400}-\frac{y^2}{73225}=1.$
b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục Oy của hypebol nên ta PB < PA với mọi vị trí của P. Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A.
Gọi t₁ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ A, t₂ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ B thì $t_1=\frac{PA}{v},t_2=\frac{PB}{v}$ với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.
Khi đó, ta có:
t₁ – t₂ = $\frac{PA-PB}{v}=\frac{360000}{3.8^{10}}=0,0012\left(s\right).$
Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là x2a2−y2b2=1, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13). a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F1, F2 của hypebol (H). b) Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A1, A2. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA1 và OA2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).
   

   a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của hypebol (H).
   b) Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A₁, A₂. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA₁ và OA₂.

   Trả lời:

   a) Toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của hypebol (H) là: F₁(–c; 0) và F₂(c; 0) với $c=\sqrt{a^2+b^2}.$
   b)
   +) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $\left(x_{A_1};0\right).$
   Mà A₁ thuộc (H) nên $\frac{x_{{}_{A_1}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{}_{A_1}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_1}=a\\ x_{A_1}=-a\end{array}\right..$
   Ta thấy A₁ nằm bên trái điểm O trên trục Ox nên $x_{A_1}<0\Rightarrow x_{A_1}=-a\Rightarrow$A₁(–a; 0). Khi đó OA₁ = $\sqrt{{\left(-a-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(-a\right)}^2}=a$(vì a > 0).
   Vậy OA₁ = a.
   +) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $\left(x_{A_2};0\right).$
   Mà A₂ thuộc (H) nên $\frac{x_{{}_{A_2}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{}_{A_2}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_2}=a\\ x_{A_2}=-a\end{array}\right..$
   Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_2}>0\Rightarrow x_{A_2}=a\Rightarrow$A₂(a; 0). Khi đó OA₂ = $\sqrt{{\left(a-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{a^2}=a$(vì a > 0).
   Vậy OA₂ = a.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là x2a2−y2b2=1, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 14). Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm M1, M2, M3 có nằm trên hypebol (H) hay không? Tại sao?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 14).
   

   Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H). Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm M₁, M₂, M₃ có nằm trên hypebol (H) hay không? Tại sao?

   Trả lời:

   Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (H) nên ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$
   +) M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M₁ có toạ độ là (x; –y).
   Ta có $\frac{x^2}{a^2}-\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$ Do đó M₁ cũng thuộc (H).
   +) M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M₂ có toạ độ là (–x; y).
   Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$ Do đó M₂ cũng thuộc (H).
   +) M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M₃ có toạ độ là (–x; –y).
   Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$ Do đó M₃ cũng thuộc (H).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. a) Quan sát điểm M (x; y) nằm trên hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng x ≤ –a hoặc x ≥ a. b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Quan sát điểm M (x; y) nằm trên hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng x ≤ –a hoặc x ≥ a.
   b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS.
   

   Trả lời:

   a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (H) thì $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$
   Vì $\frac{y^2}{b^2}\ge 0$ nên $\frac{x^2}{a^2}\ge 1\Rightarrow x^2\ge a^2\Rightarrow$ x ≤ –a hoặc x ≥ a.
   b)
   +) Có P(–a; b), R(a; –b) $\Rightarrow \overrightarrow{PR}=\left(a-\left(-a\right);-b-b\right)=\left(2a;-2b\right).$
   Do đó ta chọn (b; a) là một vectơ pháp tuyến của PR.
   Khi đó phương trình đường thẳng PR là: b(x + a) + a(y – b) = 0 hay bx + ay = 0 hay $y=-\frac{b}{a}x.$
   +) Có Q(a; b), S(–a; –b) $\Rightarrow \overrightarrow{QS}=\left(-a-a;-b-b\right)=\left(-2a;-2b\right).$
   Do đó ta chọn (–b; a) là một vectơ pháp tuyến của QS.
   Khi đó phương trình đường thẳng QS là: –b(x – a) + a(y – b) = 0 hay –bx + ay = 0 hay $y=\frac{b}{a}x.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A2(5; 0) và một đường tiệm cận là y = –3x.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) và một đường tiệm cận là y = –3x.

   Trả lời:

   Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).
   +) Hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) $\Rightarrow$ a = 5.
   +) Hypebol có một đường tiệm cận là y = –3x $\Rightarrow \frac{b}{a}=3\Rightarrow$b = 3a = 15.
   Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{{15}^2}=1$ hay $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{225}=1.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Nêu định nghĩa tâm sai của elip có phương trình chính tắc là x2a2+y2b2=1 với a > b > 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nêu định nghĩa tâm sai của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > b > 0.

   Trả lời:

   Tâm sai e của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > b > 0 là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip, tức là $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====