Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng BC→+AD→=2MN→=AC→+BD→.

Câu hỏi:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$

Trả lời:

Ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$
(Do $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$) (1)
Ta có: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{ND}-\overrightarrow{NA}=\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)-\left(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NA}\right)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì cánh tay đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác n đỉnh A1, A2, A3, …, An, tại mỗi đỉnh Ai có đặt một vật nặng mi (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lí, điểm M như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm A1, A2, A3, …, An ứng với các khối lượng m1, m2, m3, …, mn (kg). Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì cánh tay đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác n đỉnh A₁, A₂, A₃, …, A_n, tại mỗi đỉnh A_i có đặt một vật nặng m_i (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lí, điểm M như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm A₁, A₂, A₃, …, A_n ứng với các khối lượng m₁, m₂, m₃, …, m_n (kg).
   Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.
   

   Trả lời:

   Học sinh đọc thông tin đề bài cung cấp.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho vecto AB→=a→. Hãy xác định điểm C sao cho BC→=a→. a) Tìm mối quan hệ giữa AB→ và a→+a→. b) Vecto a→+a→ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với vecto a→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho vecto $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$. Hãy xác định điểm C sao cho $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}.$
   a) Tìm mối quan hệ giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.$
   b) Vecto $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với vecto $\overrightarrow{a}.$

   Trả lời:

   Xác định điểm C như sau:
   Trên tia AB lấy điểm C sao cho BC = a.
   

   a) Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm)
   Ta nhận thấy vecto $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{AB}$ và AC = AB + BC = 2AB.
    Suy ra $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2AB$.
   b) Ta lại có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$
   Do đó $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2\left|\overrightarrow{a}\right|$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. 1a→ và a→ có bằng nhau hay không?
   
   

   Câu hỏi:
   

   $1\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ có bằng nhau hay không?

   Trả lời:

   Tích của vecto $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ với số thực k = 1 > 0 là vecto kí hiệu là $1\overrightarrow{a}$, vecto này cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $1\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$.
   Do đó $1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0;1;2;−2.Hãy nêu mối quan hệ về  hướng và độ dài của mỗi vecto OM→,ON→ với vecto a→=OA→. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto OM→ và OA→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số $0;1;\sqrt{2};-\sqrt{2}.$Hãy nêu mối quan hệ về  hướng và độ dài của mỗi vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ với vecto $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$.
   

   Trả lời:

   +) Ta có:
   Điểm M biểu diễn cho số $\sqrt{2}$ nên $OM=\sqrt{2}$
   Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1
   Điểm N biểu diễn cho số $-\sqrt{2}$ nên $ON=\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$
   Khi đó:
   Vecto $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{OA}$ và $OM=\sqrt{2}OA$.
   Vecto $\overrightarrow{ON}$ ngược hướng với vecto $\overrightarrow{OA}$ và $ON=\sqrt{2}OA$.
   Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$ là $\overrightarrow{OM}=\sqrt{2}\overrightarrow{OA}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. −a→ và −1a→ có mối quan hệ gì?
   
   

   Câu hỏi:
   

   $-\overrightarrow{a}$ và $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ có mối quan hệ gì?

   Trả lời:

   Vecto $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ có k = -1 < 0 nên $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài $\left|-1\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|.$
   Vecto $-\overrightarrow{a}$ là vecto đối của vecto $\overrightarrow{a}$ nên $-\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài $\left|\overrightarrow{a}\right|.$
   Do đó vecto $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $-\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng nhau.
   Vì vậy $\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====