Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là Q2 + 180Q + 140 000 (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 200 nghìn đồng. a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết Q sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất. b) Xí nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì hòa vốn? c) Xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm là bao nhiêu để không bị lỗ?

Câu hỏi:

Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là Q² + 180Q + 140 000 (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 200 nghìn đồng.
a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết Q sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.
b) Xí nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì hòa vốn?
c) Xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm là bao nhiêu để không bị lỗ?

Trả lời:

Theo bài ra thì điều kiện của Q là $Q\in {\mathbb{N}}^{*}$.
a) Tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là T = Q² + 180Q + 140 000 (nghìn đồng).
Giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 200 nghìn đồng nên giá Q sản phẩm bán ra thị trường hay chính là doanh thu khi bán Q sản phẩm là: DT = 1 200Q (nghìn đồng).
Khi đó lợi nhuận của xí nghiệp khi bán hết Q sản phẩm là:
y = DT – T = 1 200Q – (Q² + 180Q + 140 000) = – Q² + 1 020Q – 140 000 (nghìn đồng).
Vậy lợi nhuận của xí nghiệp đó là y = – Q² + 1 020Q – 140 000 (nghìn đồng).
b) Xét tam thức bậc hai y = – Q² + 1 020Q – 140 000.
Nhận thấy tam thức này có hai nghiệm $Q_1=510-10\sqrt{1201}$, $Q_2=510+10\sqrt{1201}$ và hệ số a = – 1 < 0. Ta có bảng xét dấu sau:

Q

– ∞                 Q₁               Q₂              + ∞

y

              –        0         +       0        –

 
Do $Q\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $510-10\sqrt{1201}\approx \mathrm{163,45}$; $510+10\sqrt{1201}\approx \mathrm{856,55}$.
Khi đó xí nghiệp hòa vốn khi lợi nhuận bằng 0 hay y = 0, tức là Q = 164 hoặc Q = 857.
Vậy xí nghiệp đó hòa vốn khi sản xuất 164 sản phẩm hoặc 857 sản phẩm.
c) Xí nghiệp không bị lỗ, tức là lời hoặc hòa vốn, nên theo bảng xét dấu ở câu b thì xí nghiệp không bị lỗ khi và chỉ khi y ≥ 0, tức là 164 ≤ Q ≤ 857.
Vậy xí nghiệp không bị lỗ khi sản xuất từ 164 sản phẩm đến 857 sản phẩm.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: y = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000, trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Như vậy, việc đánh giá hiệu quả kinh doanh loại sản phẩm trên dẫn tới việc xét dấu của y = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000, tức là ta cần xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000. Làm thế nào để xét dấu tam thức bậc hai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: y = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000, trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Như vậy, việc đánh giá hiệu quả kinh doanh loại sản phẩm trên dẫn tới việc xét dấu của y = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000, tức là ta cần xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = – 200×2 + 92 000x – 8 400 000.
   Làm thế nào để xét dấu tam thức bậc hai?

   Trả lời:

   Đa thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) được gọi là tam thức tâm bậc hai.
   Sau bài học thứ 3 của chương 3 này, ta sẽ biết cách xét dấu tam thức bậc hai và áp dụng vào xét dấu tam thức bậc hai f(x) = – 200x² + 92 000x – 8 400 000.
   Ta có: a = – 200, b = 92 000, c = – 8 400 000.
   ∆ = b² – 4ac = 92000² – 4 . (– 200) . (– 8 400 000) = 1 744 000 000 > 0
   $\sqrt{\Delta }=\sqrt{1744000000}=4000\sqrt{109}$
   Khi đó f(x) có hai nghiệm $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-92000+4000\sqrt{109}}{-400}=230-10\sqrt{109}$; $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-92000-4000\sqrt{109}}{-400}=230+10\sqrt{109}$.
   Lại có a = – 200 < 0.
   Do đó f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;230-10\sqrt{109}\right)$ và $\left(230+10\sqrt{109};+\infty \right)$.
   f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng $\left(230-10\sqrt{109};230+10\sqrt{109}\right)$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 – 2x + 2. b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 5. c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ < 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x + 2.
   b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 5.
   c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ < 0.
   

   Trả lời:

   a) Quan sát Hình 17 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x + 2 > 0.
   b) Quan sát Hình 18 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 5 < 0.
   c) Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in ℝ$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 + 2x + 1. b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 4. c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ = 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1.
   b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 4.
   c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ = 0.
   

   Trả lời:

   a) Quan sát Hình 19, ta thấy parabol có đỉnh I(– 1; 0) thuộc trục hoành và phần parabol còn lại nằm phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1 > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-1\right\}$.
   b) Quan sát Hình 20, ta thấy parabol có đỉnh I(2; 0) thuộc trục hoành và phần parabol còn lại nằm phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 4 < 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{2\right\}$.
   c) Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{\frac{-b}{2a}\right\}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 + 3x + 2 tùy theo các khoảng của x. b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x2 + 4x – 3 tùy theo các khoảng của x. c) Từ đó rút ra mối quan hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a tùy theo các khoảng của x trong trường hợp ∆ > 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 tùy theo các khoảng của x.
   b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 tùy theo các khoảng của x.
   c) Từ đó rút ra mối quan hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a tùy theo các khoảng của x trong trường hợp ∆ > 0.
   

   Trả lời:

   a) Quan sát Hình 21, ta thấy
   + Trên khoảng (– 2; – 1), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 < 0.
   + Trên các khoảng (– ∞; – 2) và (– 1; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 > 0.
   b) Quan sát Hình 22, ta thấy:
   + Trên khoảng (1; 3), phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 > 0.
   + Trên các khoảng (– ∞; 1) và (3; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 < 0.
   c) Nếu ∆ > thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (– ∞; x₁) và (x₂; + ∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x₁; x₂), trong đó x₁, x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁ < x₂.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau: a) f(x) = – 2×2 + 4x – 5; b) f(x) = – x2 + 6x – 9.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
   a) f(x) = – 2×2 + 4x – 5;
   b) f(x) = – x2 + 6x – 9.

   Trả lời:

   a) Tam thức bậc hai f(x) = – 2x² + 4x – 5 có ∆ = b² – 4ac = 4² – 4 . (– 2) . (– 5) = – 24 < 0, hệ số a = – 2 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ.$
   b) Tam thức bậc hai f(x) = – x² + 6x – 9 có ∆ = b² – 4ac = 6² – 4 . (– 1) . (– 9) = 0, nghiệm kép x₀ = $\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2.\left(-1\right)}=3$ và hệ số a = – 1 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{3\right\}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====