Tìm m để phương trình 2×2 + (m + 1)x + m – 8 = 0 có nghiệm.

Câu hỏi:

Tìm m để phương trình 2x² + (m + 1)x + m – 8 = 0 có nghiệm.

Trả lời:

Phương trình 2x² + (m + 1)x + m – 8 = 0 (1) là phương trình bậc hai một ẩn với ẩn x và m là tham số.
Ta có: a = 2, b = m + 1, c = m – 8 và
∆ = (m + 1)² – 4 . 2 . (m – 8) = m² + 2m + 1 – 8m + 64 = m² – 6m + 65.
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0
⇔ m² – 6m + 65 ≥ 0, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn với ẩn m.
Ta giải bất phương trình trên.
Tam thức bậc hai m² – 6m + 65 có ∆_m = (– 6)² – 4 . 1 . 65 = – 224 < 0 và hệ số a_m = 1 > 0.
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tam thức m² – 6m + 65 mang dấu dương với mọi $m\in ℝ$ .
Do đó m² – 6m + 65 > 0 với mọi số thực m.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông (Hình 25). Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 cm2. Rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng-ti-mét?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông (Hình 25). Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 cm².
   

   Rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng-ti-mét?

   Trả lời:

   Sau khi học Bài 4. Bất phương trình bậc hai một ẩn, ta có thể dùng ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn để giải quyết bài toán mở đầu như sau:
   Khi chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông như Hình 25 thì kích thước của mặt cắt ngang là x (cm) và 32 – 2x (cm). Khi đó diện tích mặt cắt ngang là (32 – 2x)x (cm2).
   Ta thấy: Diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước lớn hơn 120 cm2 khi và chỉ khi
   (32 – 2x)x ≥ 120 ⇔ – 2×2 + 32x – 120 ≥ 0.
   Tam thức – 2×2 + 32x – 120 có hai nghiệm x1 = 6, x2 = 10 và hệ số a = – 2 < 0. Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 2×2 + 32x – 120 mang dấu “+” là (6; 10).
   Do đó tập nghiệm của bất phương trình – 2×2 + 32x – 120 ≥ 0 là [6; 10].
   Vậy rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là 6 cm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Quan sát và nêu đặc điểm của biểu thức ở vế trái của bất phương trình 3×2 – 4x – 8 < 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Quan sát và nêu đặc điểm của biểu thức ở vế trái của bất phương trình 3x² – 4x – 8 < 0.

   Trả lời:

   Ta thấy VT của bất phương trình đã cho là 3x² – 4x – 8, đây là một tam thức bậc hai có hệ số a = 3 > 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. a) Cho hai ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn. b) Cho hai ví dụ về bất phương trình mà không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Cho hai ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn.
   b) Cho hai ví dụ về bất phương trình mà không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn.

   Trả lời:

   a) Ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn:
   5×2 + 10x – 50 > 0;
   – 7×2 + 3x – 5 ≤ 0;
   …
   b) Ví dụ về bất phương trình không phải bất phương trình bậc hai một ẩn:
   8×2 – 9y > 0;
   2×2 – 3y + z < 0; …

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. a) Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – 2. b) Giải bất phương trình x2 – x – 2 > 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – 2.
   b) Giải bất phương trình x2 – x – 2 > 0.

   Trả lời:

   a) Tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 2 có ∆ = (– 1)² – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0.
   Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = – 2, x₂ = 1.
   Lại có hệ số a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu sau:

   x

   – ∞              – 2                     1                    + ∞

   f(x)

               +         0          –         0            +       

    
   b) Dựa vào bảng xét dấu ở câu a, ta thấy x² – x – 2 > 0 hay f(x) > 0 hay chính là tam thức f(x) mang dấu “+” khi .
   Vậy tập nghiệm của bất phương trình x² – x – 2 > 0 là (– ∞; – 2) ∪ (1; +∞).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải các bất phương trình bậc hai sau: a) 3×2 – 2x + 4 ≤ 0; b) – x2 + 6x – 9 ≥ 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải các bất phương trình bậc hai sau:
   a) 3×2 – 2x + 4 ≤ 0;
   b) – x2 + 6x – 9 ≥ 0.

   Trả lời:

   a) Tam thức bậc hai 3x² – 2x + 4 có ∆ = (– 2)² – 4 . 3 . 4 = – 44 < 0 và hệ số a = 3 > 0.
   Vậy 3x² – 2x + 4 > 0 với mọi .
   Do đó không có giá trị nào của x để bất phương trình 3x² – 2x + 4 ≤ 0
   Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
   b) Tam thức bậc hai – x² + 6x – 9 có ∆ = 6² – 4 . (– 1) . (– 9) = 0.
   Do đó nghiệm kép của tam thức là x = 3.
   Lại có hệ số a = – 1.
   Nên tam thức – x² + 6x – 9 < 0 với mọi .
   Tại x = 3 thì – x² + 6x – 9 = 0.
   Do vậy chỉ có giá trị x = 3 để bất phương trình – x² + 6x – 9 ≥ 0.
   Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x = 3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====