Giải phương trình: 3x−5=x−1

Câu hỏi:

Giải phương trình: $\sqrt{3x-5}=x-1$

Trả lời:

Ta có: $\sqrt{3x-5}=x-1$  (1).
Trước hết ta giải bất phương trình x – 1 ≥ 0 (2).
Ta có: (2) ⇔ x ≥ 1.
Bình phương hai vế của (1) ta được 3x – 5 = (x – 1)² (3).
Ta có: (3) ⇔ 3x – 5 = x² – 2x + 1 ⇔ x² – 5x + 6 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=3\end{array}\right.$ .
Do đó phương trình (3) có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.
Hai giá trị trên đều thỏa mãn x ≥ 1.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hai ô tô xuất phát tại cùng một điểm với vận tốc trung bình như nhau là 40 km/h từ hai vị trí A và B trên hai con đường vuông góc với nhau để đi về bến O là giao của hai con đường. Vị trí A cách bến 8 km, vị trí B cách bến 7 km. Gọi x là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5 km (Hình 31). Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình Làm thế nào để tìm được giá trị của x?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hai ô tô xuất phát tại cùng một điểm với vận tốc trung bình như nhau là 40 km/h từ hai vị trí A và B trên hai con đường vuông góc với nhau để đi về bến O là giao của hai con đường. Vị trí A cách bến 8 km, vị trí B cách bến 7 km. Gọi x là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5 km (Hình 31).
   
   Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình
   Làm thế nào để tìm được giá trị của x?

   Trả lời:

   Để tìm được giá trị của x, ta cần giải phương trình $\sqrt{{\left(8-40x\right)}^2+{\left(7-40x\right)}^2}=5$  (1).
   Điều kiện xác định: (8 – 40x)² + (7 – 40x)² ≥ 0.
   Sau bài học này, ta sẽ giải được phương trình trên như sau:
   Bình phương hai vế ta có: (8 – 40x)² + (7 – 40x)² = 25
   ⇔ 1 600x² – 640x + 64 + 1 600x² – 560x + 49 = 25
   ⇔ 3 200x² – 1 200x + 88 = 0
   ⇔ 400x² – 150x + 11 = 0
   Phương trình trên có hai nghiệm là x₁ = 0,1, x₂ = 0,275.
   Thử lại với điều kiện, ta thấy x = 0,1 thỏa mãn.
   Vậy x = 0,1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Giải phương trình: 3×2−4x+1=x2+x−1 (1).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-4x+1}=\sqrt{x^2+x-1}$ (1).

   Trả lời:

   Bình phương hai vế của (1) ta được: 3x² – 4x + 1 = x² + x – 1 (2).
   Ta có: (2) ⇔ 2x² – 5x + 2 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ .
   Thay lần lượt hai giá trị trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.
   Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giải các phương trình sau: a) 2×2−3x−1=2x+3  ; b) 4×2−6x−6=x2−6 ; c) x+9=2x−3 ; d) −x2+4x−2=2−x .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải các phương trình sau:
   a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$  ;
   b) $\sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$ ;
   c) $\sqrt{x+9}=2x-3$ ;
   d) $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$ .

   Trả lời:

   a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$  (1)
   Bình phương hai vế của (1) ta được: 2x² – 3x – 1 = 2x + 3
   ⇔ 2x² – 3x – 1 – 2x – 3 = 0
   ⇔ 2x² – 5x – 4 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}\\ x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}\end{array}\right.$

   Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1).
   Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}$  và$x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$ .
   b)  $\sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$ (2)
   Bình phương hai vế của (2) ta được: 4x² – 6x – 6 = x² – 6
   ⇔ 4x² – x² – 6x – 6 + 6 = 0
   ⇔ 3x² – 6x = 0
   ⇔ 3x(x – 2) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x-2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

   Thử lại ta thấy hai giá trị x = 0 và x = 2 đều không thỏa mãn (2).
   Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
   c)   $\sqrt{x+9}=2x-3$(3)
   Trước hết ta giải bất phương trình 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{3}{2}$ .
   Bình phương cả hai vế của (3) ta được: x + 9 = (2x – 3)²
   ⇔ x + 9 = 4x² – 12x + 9
   ⇔ 4x² – 12x + 9 – x – 9 = 0
   ⇔ 4x² – 13x = 0
   ⇔ x(4x – 13) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 4x-13=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{13}{4}\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên có giá trị x =$\frac{13}{4}$  thỏa mãn x ≥$\frac{3}{2}$ .
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =$\frac{13}{4}$ .
   d)   $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$ (4)
   Trước hết ta giải bất phương trình: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.
   Bình phương hai vế của (4) ta được: – x² + 4x – 2 = (2 – x)²
   ⇔ – x² + 4x – 2 = 4 – 4x + x²
   ⇔ 2x² – 8x + 6 = 0
   ⇔ x² – 4x + 3 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên có giá trị x = 1 thỏa mãn x ≤ 2.
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giải các phương trình sau: a) 2−x+2x=3 ; b) −x2+7x−6+x=4 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải các phương trình sau:
   a) $\sqrt{2-x}+2x=3$ ;
   b) $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$ .

   Trả lời:

   a) $\sqrt{2-x}+2x=3$
    $\iff \sqrt{2-x}=3-2x$ (1) 
   Ta giải bất phương trình: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{2}$ .
   Bình phương hai vế của (1) ta được: 2 – x = (3 – 2x)²
   ⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4x²
   ⇔ 4x² – 11x + 7 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{7}{4}\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên ta thấy x = 1 thỏa mãn x ≤ $\frac{3}{2}$ .
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
   b)   $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$  (2)$\iff \sqrt{-x^2+7x-6}=4-x$

   Ta giải bất phương trình: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.
    Bình phương hai vế của (2) ta được: – x² + 7x – 6 = (4 – x)²
   ⇔ – x² + 7x – 6 = 16 – 8x + x²
   ⇔ 2x² – 15x + 22 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{11}{2}\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên có x = 2 thỏa mãn x ≤ 4.
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng và mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc 60° (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng và mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc 60° (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
   

   Trả lời:

   Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0).
   Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m).
   Khi đó quan sát Hình 33a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB² = AC² + BC²
   Suy ra: BC² = AB² – AC² = (x + 1)² – x² = 2x + 1 $\Rightarrow BC=\sqrt{2x+1}$  (m).
   Quan sát Hình 33b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m).
   Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.
   Suy ra $GE=\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}$   (m)
   Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có:$\tan \widehat{DEG}=\frac{DG}{GE}$
   Mà $\widehat{DEG}=60°$ , DG = x, $GE=\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}$
   Do đó: $\frac{x}{\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}}=\tan 60°=\sqrt{3}$
   Suy ra: $x=\sqrt{3}\left(\sqrt{2x+1}-\mathrm{0,5}\right)$
   $\iff x=\sqrt{3\left(2x+1\right)}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

      $\iff \sqrt{3\left(2x+1\right)}=x+\frac{\sqrt{3}}{2}$(1)
   Bình phương hai vế của (1) ta được: $3\left(2x+1\right)={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$
   $\iff 6x+3=x^2+\sqrt{3}x+\frac{3}{4}$
   $\iff x^2+\left(\sqrt{3}-6\right)x-\frac{9}{4}=0$
   $\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{6-\sqrt{3}+\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx \mathrm{4,7}\\ x=\frac{6-\sqrt{3}-\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx -\mathrm{0,5}\end{array}\right.$

     Do x > 0 nên x ≈ 4,7 là giá trị thỏa mãn.
   Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====