Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.

Câu hỏi:

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.

Trả lời:

Đổi 148 phút = $\frac{37}{15}$  giờ.
Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0).
Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC – BM = 7 – x (km).
Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lý Pythagore ta có:
AM² = AB² + BM² = 4² + x² = 16 + x^{2
$\Rightarrow AM=\sqrt{16+x^2}$}

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là$\sqrt{16+x^2}$  km và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là $t_1=\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}$  (giờ).
Khoảng cách từ M đến C là 7 – x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là $t_2=\frac{7-x}{5}$  (giờ).
Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t₁ + t₂ = t = $\frac{37}{15}$  (giờ).
Khi đó ta có phương trình: $\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{37}{15}$$\iff 5\sqrt{16+x^2}+3.\left(7-x\right)=37$

 $\iff 5\sqrt{16+x^2}=16+3x$ (1)
Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(16 + x²) = (16 + 3x)²
⇔ 400 + 25x² = 256 + 96x + 9x²
⇔ 16x² – 96x + 144 = 0
 ⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)
Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hai ô tô xuất phát tại cùng một điểm với vận tốc trung bình như nhau là 40 km/h từ hai vị trí A và B trên hai con đường vuông góc với nhau để đi về bến O là giao của hai con đường. Vị trí A cách bến 8 km, vị trí B cách bến 7 km. Gọi x là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5 km (Hình 31). Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình Làm thế nào để tìm được giá trị của x?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hai ô tô xuất phát tại cùng một điểm với vận tốc trung bình như nhau là 40 km/h từ hai vị trí A và B trên hai con đường vuông góc với nhau để đi về bến O là giao của hai con đường. Vị trí A cách bến 8 km, vị trí B cách bến 7 km. Gọi x là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5 km (Hình 31).
   
   Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình
   Làm thế nào để tìm được giá trị của x?

   Trả lời:

   Để tìm được giá trị của x, ta cần giải phương trình $\sqrt{{\left(8-40x\right)}^2+{\left(7-40x\right)}^2}=5$  (1).
   Điều kiện xác định: (8 – 40x)² + (7 – 40x)² ≥ 0.
   Sau bài học này, ta sẽ giải được phương trình trên như sau:
   Bình phương hai vế ta có: (8 – 40x)² + (7 – 40x)² = 25
   ⇔ 1 600x² – 640x + 64 + 1 600x² – 560x + 49 = 25
   ⇔ 3 200x² – 1 200x + 88 = 0
   ⇔ 400x² – 150x + 11 = 0
   Phương trình trên có hai nghiệm là x₁ = 0,1, x₂ = 0,275.
   Thử lại với điều kiện, ta thấy x = 0,1 thỏa mãn.
   Vậy x = 0,1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Giải phương trình: 3×2−4x+1=x2+x−1 (1).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-4x+1}=\sqrt{x^2+x-1}$ (1).

   Trả lời:

   Bình phương hai vế của (1) ta được: 3x² – 4x + 1 = x² + x – 1 (2).
   Ta có: (2) ⇔ 2x² – 5x + 2 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ .
   Thay lần lượt hai giá trị trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.
   Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giải phương trình: 3x−5=x−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình: $\sqrt{3x-5}=x-1$

   Trả lời:

   Ta có: $\sqrt{3x-5}=x-1$  (1).
   Trước hết ta giải bất phương trình x – 1 ≥ 0 (2).
   Ta có: (2) ⇔ x ≥ 1.
   Bình phương hai vế của (1) ta được 3x – 5 = (x – 1)² (3).
   Ta có: (3) ⇔ 3x – 5 = x² – 2x + 1 ⇔ x² – 5x + 6 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=3\end{array}\right.$ .
   Do đó phương trình (3) có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.
   Hai giá trị trên đều thỏa mãn x ≥ 1.
   Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giải các phương trình sau: a) 2×2−3x−1=2x+3  ; b) 4×2−6x−6=x2−6 ; c) x+9=2x−3 ; d) −x2+4x−2=2−x .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải các phương trình sau:
   a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$  ;
   b) $\sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$ ;
   c) $\sqrt{x+9}=2x-3$ ;
   d) $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$ .

   Trả lời:

   a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$  (1)
   Bình phương hai vế của (1) ta được: 2x² – 3x – 1 = 2x + 3
   ⇔ 2x² – 3x – 1 – 2x – 3 = 0
   ⇔ 2x² – 5x – 4 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}\\ x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}\end{array}\right.$

   Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1).
   Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}$  và$x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$ .
   b)  $\sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$ (2)
   Bình phương hai vế của (2) ta được: 4x² – 6x – 6 = x² – 6
   ⇔ 4x² – x² – 6x – 6 + 6 = 0
   ⇔ 3x² – 6x = 0
   ⇔ 3x(x – 2) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x-2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

   Thử lại ta thấy hai giá trị x = 0 và x = 2 đều không thỏa mãn (2).
   Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
   c)   $\sqrt{x+9}=2x-3$(3)
   Trước hết ta giải bất phương trình 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{3}{2}$ .
   Bình phương cả hai vế của (3) ta được: x + 9 = (2x – 3)²
   ⇔ x + 9 = 4x² – 12x + 9
   ⇔ 4x² – 12x + 9 – x – 9 = 0
   ⇔ 4x² – 13x = 0
   ⇔ x(4x – 13) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 4x-13=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{13}{4}\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên có giá trị x =$\frac{13}{4}$  thỏa mãn x ≥$\frac{3}{2}$ .
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =$\frac{13}{4}$ .
   d)   $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$ (4)
   Trước hết ta giải bất phương trình: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.
   Bình phương hai vế của (4) ta được: – x² + 4x – 2 = (2 – x)²
   ⇔ – x² + 4x – 2 = 4 – 4x + x²
   ⇔ 2x² – 8x + 6 = 0
   ⇔ x² – 4x + 3 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên có giá trị x = 1 thỏa mãn x ≤ 2.
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải các phương trình sau: a) 2−x+2x=3 ; b) −x2+7x−6+x=4 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải các phương trình sau:
   a) $\sqrt{2-x}+2x=3$ ;
   b) $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$ .

   Trả lời:

   a) $\sqrt{2-x}+2x=3$
    $\iff \sqrt{2-x}=3-2x$ (1) 
   Ta giải bất phương trình: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{2}$ .
   Bình phương hai vế của (1) ta được: 2 – x = (3 – 2x)²
   ⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4x²
   ⇔ 4x² – 11x + 7 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{7}{4}\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên ta thấy x = 1 thỏa mãn x ≤ $\frac{3}{2}$ .
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
   b)   $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$  (2)$\iff \sqrt{-x^2+7x-6}=4-x$

   Ta giải bất phương trình: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.
    Bình phương hai vế của (2) ta được: – x² + 7x – 6 = (4 – x)²
   ⇔ – x² + 7x – 6 = 16 – 8x + x²
   ⇔ 2x² – 15x + 22 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{11}{2}\end{array}\right.$

   Trong hai giá trị trên có x = 2 thỏa mãn x ≤ 4.
   Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====