Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, BAC^=α. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Cho α là góc nhọn. Chứng minh: a) BDC^=α; b) asinα=2R.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, $\widehat{BAC}=\alpha$. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Cho α là góc nhọn. Chứng minh:
a) $\widehat{BDC}=\alpha$;
b) $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$.

Trả lời:

Do α là góc nhọn ta vẽ được hình như sau:

a) Trong đường tròn (O) có góc BAC và góc BDC là các góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC.
Do đó: $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=\alpha$.
Vậy $\widehat{BDC}=\alpha$.
b) Xét tam giác BDC, ta có $\widehat{BDC}=\alpha$.
Vì BD là đường kính của đường tròn (O) nên $\widehat{BCD}=90°$.
Do đó: $\sin \widehat{BDC}=\frac{BC}{BD}$, tức là $\sin \alpha =\frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin \alpha }=2R.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cột cờ Lũng Cú là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng (Long Sơn) thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, cách cực Bắc Việt Nam khoảng 3,3 km. Thời nhà Lý, cột cờ Lũng Cú chỉ được làm bằng cây sa mộc. Ngày nay, cột cờ có độ cao 33,15 m bao gồm bệ cột cao 20,25 m và cán cờ cao 12,9 m. Chân bệ cột cờ có 8 mặt phù điêu bằng đá xanh mô phỏng hoa văn mặt của trống đồng Đông Sơn và những họa tiết minh họa các giai đoạn qua từng thời kì lịch sử của đất nước, cũng như con người, tập quán của các dân tộc ở Hà Giang. Trên đỉnh cột là Quốc kì Việt Nam có diện tích là 54 m2, biểu tượng cho 54 dân tộc của đất nước ta. Từ chân bệ cột cờ và đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với phương nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là 45° và 50° (Hình 1). Chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là bao nhiêu mét?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cột cờ Lũng Cú là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng (Long Sơn) thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, cách cực Bắc Việt Nam khoảng 3,3 km. Thời nhà Lý, cột cờ Lũng Cú chỉ được làm bằng cây sa mộc. Ngày nay, cột cờ có độ cao 33,15 m bao gồm bệ cột cao 20,25 m và cán cờ cao 12,9 m. Chân bệ cột cờ có 8 mặt phù điêu bằng đá xanh mô phỏng hoa văn mặt của trống đồng Đông Sơn và những họa tiết minh họa các giai đoạn qua từng thời kì lịch sử của đất nước, cũng như con người, tập quán của các dân tộc ở Hà Giang. Trên đỉnh cột là Quốc kì Việt Nam có diện tích là 54 m², biểu tượng cho 54 dân tộc của đất nước ta.
   

   Từ chân bệ cột cờ và đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với phương nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là 45° và 50° (Hình 1).
   
   Chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là bao nhiêu mét?

   Trả lời:

   
   Ta có: Bx // CH $\Rightarrow \widehat{BCH}=\widehat{xBC}=50°$ (hai góc so le trong)
   Ay // CH $\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{yAC}=45°$ (hai góc so le trong)
   Tam giác ACH vuông tại H có $\widehat{ACH}=45°$ nên tam giác ACH vuông cân tại H
   Suy ra CH = AH = h (m).
   Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h
   Tam giác BCH vuông tại H nên $\tan \widehat{BCH}=\frac{BH}{CH}$
   Do đó ta có: $\frac{\mathrm{20,25}+h}{h}=\tan 50°\approx \mathrm{1,2}$
   ⇒ 20,25 + h = 1,2h
   ⇒ 0,2h = 20,25 ⇒ h = 101,25 m.
   Vậy chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 101,25 m.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC^=α (Hình 2). a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α. b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc 90° – α theo tỉ số lượng giác của góc α.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=\alpha$ (Hình 2).
   
   a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α.
   b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc 90° – α theo tỉ số lượng giác của góc α.

   Trả lời:

   a) Tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=\alpha$. Khi đó ta có:
   $\sin \alpha =\frac{AC}{BC},\cos \alpha =\frac{AB}{BC},\tan \alpha =\frac{AC}{AB},\cot \alpha =\frac{AB}{AC}$.
   b) Áp dụng công thức tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau, ta có:
   sin(90° – α) = cos α;
   cos(90° – α) = sin α;
   tan(90° – α) = cot α;
   cot(90° – α) = tan α.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn α ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α. Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Hãy tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y­0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn α ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Giả sử điểm M có tọa độ (x₀; y₀). Hãy tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x₀, y_­0.
   

   Trả lời:

   Để tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x₀, y_­0, ta làm như sau:
   Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có:
   $\sin \alpha =\frac{MH}{OM}=\frac{y_0}{1}=y_0,\cos \alpha =\frac{OH}{OM}=\frac{x_0}{1}=x_0,$
   $\tan \alpha =\frac{MH}{OH}=\frac{y_0}{x_0},\cot \alpha =\frac{OH}{MH}=\frac{x_0}{y_0}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và xOM^=α (Hình 6). a) Chứng minh xON^=180°−α. b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc 180° – α theo giá trị lượng giác của góc α.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và $\widehat{xOM}=\alpha$ (Hình 6).
   

   a) Chứng minh $\widehat{xON}=180°-\alpha .$
   b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc 180° – α theo giá trị lượng giác của góc α.

   Trả lời:

   a) Do MN // Ox nên $\widehat{NMO}=\widehat{xOM}=\alpha$ (hai góc so le trong).
   Tam giác OMN có OM = ON (bán kính) nên tam giác OMN cân tại O.
   Suy ra $\widehat{MON}=180°-2\widehat{NMO}=180°-2\alpha$.
   Ta lại có: $\widehat{xON}=\widehat{xOM}+\widehat{MON}=\alpha +\left(180°-2\alpha \right)$$=180°-\alpha$ 
   Vậy $\widehat{xON}=180°-\alpha .$
   b) Do điểm M có tọa độ (x₀; y₀) thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$ nên theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc có giá trị từ 0° đến 180° ta có:
   sin α = y₀; cos α = x₀; $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}$; $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}$    (1).
   Do điểm N có tọa độ (– x₀; y₀) thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xON}=180°-\alpha$ nên theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc có giá trị từ 0° đến 180° ta có:
   sin(180° – α) = y₀; cos(180° – α) = – x₀;$\tan \left(180°-\alpha \right)=\frac{y_0}{-x_0}=-\frac{y_0}{x_0}$; $\cot \left(180°-\alpha \right)=\frac{-x_0}{y_0}=-\frac{x_0}{y_0}$   (2).
   Từ (1) và (2) ta có: sin(180° – α) = sin α;
                                 cos(180° – α) = – cos α;
                                 tan(180° – α) = – tan α;
                                 cot(180° – α) =  – cot α.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc (từ 0° đến 180°) bằng cách sử dụng các phím: sin,  cos,  tan trên máy tính cầm tay. Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc (từ 0° đến 180°) bằng cách sử dụng các phím: $\sin ,cos,\tan$ trên máy tính cầm tay.
   Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).

   Trả lời:

   Để tính các giá trị lượng giác sin75°, cos175°, tan64°, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ” ta làm như sau:
   
   Vậy sin75° = 0,9659; cos175° = – 0,9962 , tan64° = 2,0503         (chú ý dấu phẩy thập phân trên máy tính cầm tay là dấu “.”).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====