Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24). a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng: sinA=2bcpp−ap−bp−c, ở đó p=a+b+c2. b) Bằng cách sử dụng công thức S=12bcsinA, hãy chứng tỏ rằng: S=pp−ap−bp−c.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).

a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:
$\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$, ở đó $p=\frac{a+b+c}{2}$.
b) Bằng cách sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}bc\sin A$, hãy chứng tỏ rằng:
$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

Trả lời:

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos A
$\Rightarrow \cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$  (1)
Ta lại có: sin² A + cos² A = 1
Do đó: sin² A = 1 – cos² A
Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < $\widehat{A}$< 180° nên sin A > 0.
Nên $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$   (2)
Từ (1) và (2) ta có:
$\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}$$=\sqrt{\frac{{\left(2bc\right)}^2}{{\left(2bc\right)}^2}-\frac{{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{{\left(2bc\right)}^2}}$
$=\sqrt{\frac{{\left(2bc\right)}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{{\left(2bc\right)}^2}}$$=\sqrt{\frac{\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)}{{\left(2bc\right)}^2}}$
$=\frac{\sqrt{\left({\left(b+c\right)}^2-a^2\right)\left(a^2-{\left(b-c\right)}^2\right)}}{2bc}$$=\frac{\sqrt{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}}{2bc}$
$=\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-2a\right)\left(a+b+c-2c\right)\left(a+b+c-2b\right)}}{2bc}$
Lại có $p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow a+b+c=2p$
Khi đó: $\sin A=\frac{\sqrt{2p.\left(2p-2a\right)\left(2p-2b\right)\left(2p-2c\right)}}{2bc}$$=\frac{\sqrt{16p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{2bc}$
Vậy $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.
b) Diện tích tam giác ABC là $S=\frac{1}{2}bc\sin A$.
Mà $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$
Nên $S=\frac{1}{2}bc.\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.
Vậy $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để do khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,…) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau: Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC. Giải tam giác được hiểu như thế nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để do khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,…) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau:
   Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC.
   

   Giải tam giác được hiểu như thế nào?

   Trả lời:

   Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, A^=α. Viết công thức tính BC theo b, c, α.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, $\widehat{A}=\alpha$. Viết công thức tính BC theo b, c, α.

   Trả lời:

   Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
   BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos A = c² + b² – 2.b.c.cosα
   $\Rightarrow BC=\sqrt{c^2+b^2-2bc\cos \alpha }$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Viết công thức tính cos A theo a, b, c.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Viết công thức tính cos A theo a, b, c.

   Trả lời:

   Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
   $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}$.
   Vậy $\cos A=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Viết công thức định lí sin cho tam giác ABC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết công thức định lí sin cho tam giác ABC.

   Trả lời:

   Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R. Ta có định lí sin:
   $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH. a) Tính BH theo c và sin A. b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH.
   a) Tính BH theo c và sin A.
   b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.

   Trả lời:

   a) Xét các trường hợp:        
   + Với $\widehat{A}<90°$
   
   Xét tam giác vuông AHB, ta có: BH = AB . sin A = c sin A.
   + Với $\widehat{A}=90°$
   
   Khi đó, BH = BA = c = c sin A.
   + Với $\widehat{A}>90°$
   
   Xét tam giác AHB vuông, ta có: $\widehat{BAH}=180°-\widehat{A}$.
   Do đó BH = AB . sin(180° – $\widehat{A}$) = AB . sin A = c sin A.
   Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c sin A.
   b) Ta có: $S=\frac{1}{2}AC.BH=\frac{1}{2}bc\sin A$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====