Cho đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Với điểm M bất kì, khẳng định nào dưới đây là đúng?

Câu hỏi:

Cho đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Với điểm M bất kì, khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \) MI² + IA²;

B. \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \) MI² + 2 IA²;

C. \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \) MI² – IA²;

Đáp án chính xác

D. \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \) 2MI² + IA².

Trả lời:

Đáp án đúng là C
Vì I là trung điểm của AB nên ta có: \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {IB} = – \overrightarrow {IA} \).
Xét \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)\)
\( = {\overrightarrow {MI} ^2} + \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IA} \)
\( = {\overrightarrow {MI} ^2} + \overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IA} } \right) + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IA} \)
\( = {\overrightarrow {MI} ^2} + \left( { – \overrightarrow {IA} } \right).\overrightarrow {IA} \)
\( = {\overrightarrow {MI} ^2} – {\overrightarrow {IA} ^2}\)
\( = M{I^2} – I{A^2}\).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

   A. \(\overrightarrow a \left( {1; – 1} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( { – 1;1} \right)\).

   B. \(\overrightarrow n \left( {1;1} \right)\) và \(\overrightarrow k \left( {2;0} \right)\).

   C. \(\overrightarrow u \left( {2;3} \right)\) và \(\overrightarrow v \left( {4;6} \right)\).

   D. \(z\left( {a;b} \right)\) và \(\overrightarrow t \left( { – b;a} \right)\).

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là D
   Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.\left( { – 1} \right) + \left( { – 1} \right).1 = – 1 + \left( { – 1} \right) = – 2 \ne 0.\) Suy ra hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không vuông góc với nhau. Do đó A sai.
   Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow k = 1.2 + 1.0 = 2 + 0 = 2 \ne 0.\) Suy ra hai vecto \(\overrightarrow n ,\overrightarrow k \) không vuông góc. Do đó B sai.
   Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 2.4 + 3.6 = 8 + 18 = 26 \ne 0.\) Suy ra hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) không vuông góc. Do đó C sai.
   Ta có: \(\overrightarrow z .\overrightarrow t = a.\left( { – b} \right) + b.a = – ab + ab = 0.\) Suy ra hai vecto \(\overrightarrow z ,\overrightarrow t \) vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Góc giữa vectơ \(\overrightarrow a \left( { – 1; – 1} \right)\) và vecto \(\overrightarrow b \left( { – 1;0} \right)\) có số đo bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Góc giữa vectơ \(\overrightarrow a \left( { – 1; – 1} \right)\) và vecto \(\overrightarrow b \left( { – 1;0} \right)\) có số đo bằng:

   A. 90°.

   B. 0°.

   C. 135°.

   D. 45°.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là D
   Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { – 1} \right).\left( { – 1} \right) + \left( { – 1} \right).0 = 1,\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {0^2}} = 1.\)
   \( \Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 45^\circ .\)
   Vậy góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)là 45°.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Góc giữa vectơ \(\overrightarrow a \left( { – 1; – 1} \right)\) và vecto \(\overrightarrow b \left( { – 1;0} \right)\) có số đo bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Góc giữa vectơ \(\overrightarrow a \left( { – 1; – 1} \right)\) và vecto \(\overrightarrow b \left( { – 1;0} \right)\) có số đo bằng:

   A. 90°.

   B. 0°.

   C. 135°.

   D. 45°.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là D
   Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { – 1} \right).\left( { – 1} \right) + \left( { – 1} \right).0 = 1,\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {0^2}} = 1.\)
   \( \Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 45^\circ .\)
   Vậy góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)là 45°.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a và A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Khẳng định nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a và A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Khẳng định nào sau đây là đúng?

   A. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {45^0}.\)

   B. \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^0}\) và \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = {a^2}.\)

   Đáp án chính xác

   C. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = {a^2}\sqrt 2 .\)

   D. \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} = – {a^2}.\)

   Trả lời:

   Đáp án đúng là B
   Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a\(\sqrt 2 \).
   Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {a;\,\,0} \right)\), \(\overrightarrow {BD} \left( { – a;\,\,a} \right)\), \(\overrightarrow {AC} \left( {a;\,\,a} \right)\), \(\overrightarrow {BC} \left( {0;\,\,a} \right)\), \(\overrightarrow {BA} \left( { – a;\,\,0} \right)\).
   Khi đó:
   +) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = a.\left( { – a} \right) + 0.a = – {a^2}\)
   \( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{ – {a^2}}}{{a.a\sqrt 2 }} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {135^0}.\) Do đó A sai.
   +) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \) = a.0 + a.a = a²
   \( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{a.a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^0}.\) Do đó B đúng
   +) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = a.\left( { – a} \right) + a.a = 0\). Do đó C sai.
   +) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} \) = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Khi nào thì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Khi nào thì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc?

   A. \(\overrightarrow a \).\(\overrightarrow b \)= 1;

   B. \(\overrightarrow a \).\(\overrightarrow b \)= – 1;

   C. \(\overrightarrow a \).\(\overrightarrow b \)= 0;

   Đáp án chính xác

   D. a.b = -1.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là C
   Hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc khi \(\overrightarrow a \).\(\overrightarrow b \)= 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====