Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng: \({d_1}\): 2x – y – 10 = 0 và \({d_2}\): x – 3y + 9 = 0

Câu hỏi:

Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng:
\({d_1}\): 2x – y – 10 = 0 và \({d_2}\): x – 3y + 9 = 0

A.   \({30^{\rm{o}}}.\)                   

B. \({45^{\rm{o}}}.\)

Đáp án chính xác

C. \({60^{\rm{o}}}.\)                     

D. \({135^{\rm{o}}}.\)

Trả lời:

Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x – y – 10 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {2; – 1} \right)\\{d_2}:x – 3y + 9 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {1; – 3} \right)\end{array} \right.\) \({\vec n_1}\); \({\vec n_2}\) lần lượt là các vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\); \({d_2}\). Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {2.1 + \left( { – 1} \right).\left( { – 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)\( \to \varphi = {45^ \circ }.\)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:  \({d_1}\): x – 2y + 1 = 0 và \({d_2}\): – 3x + 6y – 10 = 0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
    \({d_1}\): x – 2y + 1 = 0 và \({d_2}\): – 3x + 6y – 10 = 0

   A. Trùng nhau.                        

   B. Song song.

   Đáp án chính xác

   C. Vuông góc với nhau.            

   D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x – 2y + 1 = 0\\{d_2}: – 3x + 6y – 10 = 0\end{array} \right.\)
   Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y + 1 = 0\\ – 3x + 6y – 10 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}3x – 6y + 3 = 0\\ – 3x + 6y – 10 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)-7 = 0 (vô lý)
   Suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm
   Vì vậy hai đường thẳng song song. 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: \({d_1}\): 3x – 2y – 6 = 0 và \({d_2}\): 6x – 2y – 8 = 0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
   \({d_1}\): 3x – 2y – 6 = 0 và \({d_2}\): 6x – 2y – 8 = 0

   A.   Trùng nhau.                      

   B. Song song.

   C. Vuông góc với nhau.            

   D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:3x – 2y – 6 = 0\\{d_2}:6x – 2y – 8 = 0\end{array} \right.\)
   Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x – 2y – 6 = 0\\6x – 2y – 8 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – 2y = 6\\3x = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = – 2\end{array} \right.\)
   Suy ra hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm.
   Ta lại có: d₁ có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} \) = (3; -2) và d₂ có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} \)= (6; -2).
   \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \) = 3.6 + (-3).(-2) = 18 + 6 = 24 ≠ 0. Do đó d₁ và d₂ không vuông góc.
   Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{3} – \frac{y}{4} = 1\) và \({d_2}\): 3x + 4y – 10 = 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{3} – \frac{y}{4} = 1\) và \({d_2}\): 3x + 4y – 10 = 0.

   A. Trùng nhau.                        

   B. Song song.

   C. Vuông góc với nhau.            

   Đáp án chính xác

   D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: C                  
   Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\frac{x}{3} – \frac{y}{4} = 1\\{d_2}:3x + 4y – 10 = 0\end{array} \right.\)
   Phương trình \({d_1}\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( {\frac{1}{3}; – \frac{1}{4}} \right)\)
   Phương trình \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_2} = \left( {3;4} \right)\)
   Nhận thấy \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2}\) = \(\frac{1}{3}\).3 + \(\left( { – \frac{1}{4}} \right)\).4 = 0. Như vậy hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng vuông góc với nhau, suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + t\\y = – 2 – 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 2t’\\y = – 8 + 4t’\end{array} \right.\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
   \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + t\\y = – 2 – 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 2t’\\y = – 8 + 4t’\end{array} \right.\).

   A. Trùng nhau.                        

   Đáp án chính xác

   B. Song song.

   C. Vuông góc với nhau.            

   D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Ta có:
   \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + t\\y = – 2 – 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 2t’\\y = – 8 + 4t’\end{array} \right.\).
   Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} – 1 + t = 2 – 2t’\\ – 2 – 2t = – 8 + 4t’\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}t + 2t’ = 3\\ – 2t – 4t’ = – 6\end{array} \right.\)
   \( \Leftrightarrow t + 2t’ = 3\) như vậy phương trình có vô số nghiệm, suy ra hai đường thẳng trùng nhau.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:  \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 3 + 4t\\y = 2 – 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 2t’\\y = – 8 + 2t’\end{array} \right.\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
    \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 3 + 4t\\y = 2 – 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 2t’\\y = – 8 + 2t’\end{array} \right.\).

   A. Trùng nhau.                        

   B. Song song.

   Đáp án chính xác

   C. Vuông góc với nhau.            

   D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   Ta có:
   \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 3 + 4t\\y = 2 – 4t\end{array} \right.\)
   \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 2t’\\y = – 8 + 2t’\end{array} \right.\)
   Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} – 3 + 4t = 2 – 2t’\\2 – 4t = – 8 + 2t’\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4t + 2t’ = 5\\ – 4t – 2t’ = – 10\end{array} \right.\)
   \( \Leftrightarrow \)0 = -5 (Vô lý), hệ vô nghiệm, suy ra hai đường thẳng song song với nhau.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====