Câu hỏi: Hàm số nào nghịch biến trên R.

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu:

Câu hỏi mẫu thuộc dạng bài: Xét tính đơn điệu của hàm số.

Kiến thức liên quan: Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Đạo hàm của hàm số. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số.

Mức độ: Trung bình.

Phương pháp giải chi tiết: Để xét tính đơn điệu của hàm số trên R, ta tính đạo hàm của hàm số. Nếu $f'(x) \ge 0$ với mọi $x \in R$ và $f'(x) = 0$ tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên R. Nếu $f'(x) \le 0$ với mọi $x \in R$ và $f'(x) = 0$ tại hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên R. Áp dụng phương pháp này cho từng hàm số trong các đáp án.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Hàm số nào nghịch biến trên R?

A. $y = 2x^3 + 3x + 1$
B. $y = x^4 – 2x^2 + 1$
C. $y = -x^3 + 3x – 2$
D. $y = -x^4 + 4x^2 – 1$

Lời giải
A. $y’ = 6x^2 + 3 > 0$ với mọi $x \in R$, hàm số đồng biến trên R.
B. $y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x-1)(x+1)$, $y’=0$ khi $x=0, x=1, x=-1$. Hàm số không nghịch biến trên R.
*C. $y’ = -3x^2 + 3 = 3(1-x^2)$, $y’=0$ khi $x=1$ hoặc $x=-1$. Khi $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, $y’ < 0$. Hàm số không nghịch biến trên R.
D. $y’ = -4x^3 + 8x = -4x(x^2 – 2)$, $y’ = 0$ khi $x = 0, x = \pm \sqrt{2}$. Hàm số không nghịch biến trên R.
Vậy không có đáp án nào đúng. (Có lỗi trong đề bài hoặc đáp án)

Câu 2: Hàm số nào đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$?

A. $y = -x^3 + 3x$
B. $y = x^4 – 4x^2 + 2$
C. $y = x^3 – 3x + 1$
D. $y = -x^4 + 2x^2$

Lời giải
A. $y’ = -3x^2 + 3 = 3(1 – x^2)$. $y’ > 0$ khi $-1 < x < 1$. Không đồng biến trên $(1; +\infty)$.
B. $y’ = 4x^3 – 8x = 4x(x^2 – 2)$. $y’ > 0$ khi $x > \sqrt{2}$. Đồng biến trên $(\sqrt{2}; +\infty)$.
*C. $y’ = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1)$. $y’ > 0$ khi $x > 1$ hoặc $x < -1$. Đồng biến trên $(1; +\infty)$.
D. $y’ = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 – 1)$. $y’ > 0$ khi $-1 < x < 0$ hoặc $x > 1$. Đồng biến trên $(1; +\infty)$.
* Vậy cả C và D đều đúng. (Có lỗi trong đề bài hoặc đáp án)

Câu 3: Hàm số nào nghịch biến trên khoảng $(-1; 0)$?

A. $y = x^3 – 3x^2 + 3x + 1$
B. $y = -x^3 + 3x^2 – 3x – 1$
C. $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$
D. $y = -x^3 – 3x^2 – 3x – 1$

Lời giải
A. $y’ = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x-1)^2 \ge 0$. Hàm số đồng biến.
B. $y’ = -3x^2 + 6x – 3 = -3(x-1)^2 \le 0$. Hàm số nghịch biến.
C. $y’ = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x+1)^2 \ge 0$. Hàm số đồng biến.
D. $y’ = -3x^2 – 6x – 3 = -3(x+1)^2 \le 0$. Hàm số nghịch biến.
* Vậy cả B và D đều đúng. (Có lỗi trong đề bài hoặc đáp án)

Câu 4: Hàm số nào đồng biến trên R?

A. $y = -x^3 + 4x – 1$
B. $y = x^4 – 4x^2 + 3$
C. $y = 2x^3 – 6x + 1$
D. $y = x^3 + 3x + 1$

Lời giải
A. $y’ = -3x^2 + 4$, $y’ = 0$ khi $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Không đồng biến trên R.
B. $y’ = 4x^3 – 8x$, $y’ = 0$ khi $x = 0, \pm \sqrt{2}$. Không đồng biến trên R.
C. $y’ = 6x^2 – 6$, $y’ = 0$ khi $x = \pm 1$. Không đồng biến trên R.
*D. $y’ = 3x^2 + 3 > 0$ với mọi $x \in R$. Hàm số đồng biến trên R.

Câu 5: Hàm số nào nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -2)$?

A. $y = x^3 + 3x^2 – 9x + 1$
B. $y = -x^3 – 3x^2 + 9x + 1$
C. $y = x^3 – 3x^2 + 9x + 1$
D. $y = -x^3 + 3x^2 – 9x + 1$

Lời giải
A. $y’ = 3x^2 + 6x – 9 = 3(x^2 + 2x – 3) = 3(x+3)(x-1)$. $y’ < 0$ khi $-3 < x < 1$.
B. $y’ = -3x^2 – 6x + 9 = -3(x^2 + 2x – 3) = -3(x+3)(x-1)$. $y’ < 0$ khi $x < -3$ hoặc $x > 1$.
*C. $y’ = 3x^2 – 6x + 9 = 3(x^2 – 2x + 3) = 3((x-1)^2 + 2) > 0$. Hàm số luôn đồng biến.
D. $y’ = -3x^2 + 6x – 9 = -3(x^2 – 2x + 3) = -3((x-1)^2 + 2) < 0$. Hàm số luôn nghịch biến.
* Vậy cả B và D đều đúng.

Câu 6: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = x^3 – 3x + 1$ trên khoảng $(-1, 1)$?

A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Không đổi
D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến

Lời giải
$y’ = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1)$. $y’ = 0$ khi $x = \pm 1$.
Trên khoảng $(-1, 1)$, $y’ < 0$, nên hàm số nghịch biến.
*B. Nghịch biến

Câu 7: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = -x^3 + 6x^2 – 9x + 1$ trên khoảng $(1, 3)$?

A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Không đổi
D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến

Lời giải
$y’ = -3x^2 + 12x – 9 = -3(x^2 – 4x + 3) = -3(x-1)(x-3)$.
Trên khoảng $(1, 3)$, $y’ < 0$, nên hàm số nghịch biến.
*B. Nghịch biến

Câu 8: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 2$ trên khoảng $(0, 2)$?

A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Không đổi
D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến

Lời giải
$y’ = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$.
Trên khoảng $(0, 2)$, $y’ > 0$, nên hàm số đồng biến.
*A. Đồng biến

Câu 9: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$?

A. Đồng biến trên $(-\infty, -1)$ và $(0, 1)$, nghịch biến trên $(-1, 0)$ và $(1, \infty)$
B. Đồng biến trên $(-1, 0)$ và $(1, \infty)$, nghịch biến trên $(-\infty, -1)$ và $(0, 1)$
C. Đồng biến trên $(-\infty, -1)$ và $(1, \infty)$, nghịch biến trên $(-1, 1)$
D. Đồng biến trên $(-1, 1)$, nghịch biến trên $(-\infty, -1)$ và $(1, \infty)$

Lời giải
$y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x-1)(x+1)$.
$y’ = 0$ khi $x = -1, 0, 1$.
*A. Đồng biến trên $(-\infty, -1)$ và $(0, 1)$, nghịch biến trên $(-1, 0)$ và $(1, \infty)$

Câu 10: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{x^3}{3} – x^2 + x + 2$?

A. Đồng biến trên $(-\infty, -1/3)$ và $(1, \infty)$, nghịch biến trên $(-1/3, 1)$
B. Đồng biến trên $(-1/3, 1)$, nghịch biến trên $(-\infty, -1/3)$ và $(1, \infty)$
C. Đồng biến trên $(-\infty, 1)$, nghịch biến trên $(1, \infty)$
D. Đồng biến trên $(1, \infty)$, nghịch biến trên $(-\infty, 1)$

Lời giải
$y’ = x^2 – 2x + 1 = (x-1)^2 \ge 0$.
$y’ = 0$ khi $x = 1$.
Hàm số đồng biến trên R \ {1}.
Vậy không có đáp án nào đúng. (Có lỗi trong đề bài hoặc đáp án)