Câu hỏi: Hàm số $y=-x^4+2x^2+2$ đồng biến trên

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

[Nội dung phần phân tích]

Dạng bài: Xét tính đơn điệu của hàm số.

Kiến thức liên quan: Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến; đạo hàm; bảng biến thiên.

Mức độ: Trung bình.

Phương pháp giải:
1. Tính đạo hàm $y’$.
2. Tìm nghiệm của phương trình $y’ = 0$.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên, xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: $y = -x^4 + 2x^2 + 2$
$y’ = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 – 1) = -4x(x-1)(x+1)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1; x = 0; x = 1$

Bảng biến thiên:
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty \\
\hline
y’ & & + & 0 & – & 0 & + & 0 & – & \\
\hline
y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow &
\end{array}
Hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ và $(0;1)$. Do đó hàm số đồng biến trên $(0;1)$.

Câu 2: $y = x^3 – 3x + 2$
A. $\mathbf{(-\infty; -1)}$ B. $\mathbf{(-1; 1)}$ *C. $\mathbf{(1; +\infty)}$ D. $\mathbf{(-\infty; +\infty)}$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x-1)(x+1)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$
Bảng biến thiên:
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\
\hline
y’ & & + & 0 & – & 0 & + & \\
\hline
y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow &
\end{array}
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.

Câu 3: $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 1$
A. $\mathbf{(-\infty; 1)}$ *B. $\mathbf{(1; +\infty)}$ C. $\mathbf{(-\infty; 0)}$ D. $\mathbf{(0; 1)}$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 6x – 3 = -3(x^2 – 2x + 1) = -3(x-1)^2$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$
$y’ \le 0$ với mọi $x$, $y’=0$ khi $x=1$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 4: $y = x^3 – 6x^2 + 9x + 1$
A. $\mathbf{(-\infty; 1)}$ B. $\mathbf{(1; 3)}$ *C. $\mathbf{(3; +\infty)}$ D. $\mathbf{(-\infty; 0)}$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$
Bảng biến thiên:
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\
\hline
y’ & & + & 0 & – & 0 & + & \\
\hline
y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow &
\end{array}
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

Câu 5: $y = -x^3 + 3x + 2$
A. $\mathbf{(-1; 1)}$ *B. $\mathbf{(-\infty; -1)}$ C. $\mathbf{(1; +\infty)}$ D. $\mathbf{(0; 2)}$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1) = -3(x-1)(x+1)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$
Bảng biến thiên:
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\
\hline
y’ & & – & 0 & + & 0 & – & \\
\hline
y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow &
\end{array}
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.

Câu 6: $y = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 10$
*A. $\mathbf{(-1; 2)}$ B. $\mathbf{(2; +\infty)}$ C. $\mathbf{(-\infty; -1)}$ D. $\mathbf{(0; 2)}$

Lời giải:
$y’ = 6x^2 – 6x – 12 = 6(x^2 – x – 2) = 6(x-2)(x+1)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -1$
Bảng biến thiên:
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 2 & & +\infty \\
\hline
y’ & & + & 0 & – & 0 & + & \\
\hline
y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow &
\end{array}
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(2; +\infty)$.

Câu 7: $y = -x^3 + 6x^2 – 9x + 4$
A. $\mathbf{(3; +\infty)}$ *B. $\mathbf{(1; 3)}$ C. $\mathbf{(-\infty; 1)}$ D. $\mathbf{(0; 3)}$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 12x – 9 = -3(x^2 – 4x + 3) = -3(x-1)(x-3)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$
Bảng biến thiên:
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\
\hline
y’ & & – & 0 & + & 0 & – & \\
\hline
y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow &
\end{array}
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

Câu 8: $y = x^3 – 3x^2 + 3x$
A. $\mathbf{(-\infty; 0)}$ B. $\mathbf{(0; 1)}$ *C. $\mathbf{(1; +\infty)}$ D. $\mathbf{(0; 2)}$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x^2 – 2x + 1) = 3(x-1)^2$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$
$y’ \ge 0$ với mọi $x$, $y’=0$ khi $x=1$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 9: $y = -x^3 + x^2 + 5x + 1$
*A. $\mathbf{(-1; 5/3)}$ B. $\mathbf{(5/3; +\infty)}$ C. $\mathbf{(-\infty; -1)}$ D. $\mathbf{(0; 1)}$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 2x + 5$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – 4(-3)(5)}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{-6} = \frac{-2 \pm 8}{-6} \implies x = -1, x = 5/3$
Bảng biến thiên:
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 5/3 & & +\infty \\
\hline
y’ & & – & 0 & + & 0 & – & \\
\hline
y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow &
\end{array}
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(5/3; +\infty)$.

Câu 10: $y = x^3 – 3x + 2$
A. $\mathbf{(-\infty; -1)}$ B. $\mathbf{(-1; 1)}$ *C. $\mathbf{(1; +\infty)}$ D. $\mathbf{(-\infty; 0)}$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 3 = 3(x-1)(x+1)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$
Bảng biến thiên:
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\
\hline
y’ & & + & 0 & – & 0 & + & \\
\hline
y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow &
\end{array}
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.