Câu hỏi:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).
Tìm toạ độ của điểm P thuộc trục tung sao cho M, N, P thẳng hàng.
Trả lời:
Lời giải
Giả sử P(0; yP) là điểm thuộc trục tung.
Với M(–3; 2) và N(2; 7) ta có:
\(\overrightarrow {MP} = \left( {3;{y_P} – 2} \right)\)và \(\overrightarrow {NP} = \left( { – 2;{y_P} – 7} \right)\)
Ba điểm M, N, P thẳng hàng
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {NP} \) cùng phương
\( \Leftrightarrow \frac{3}{{ – 2}} = \frac{{{y_P} – 2}}{{{y_P} – 7}}\) (với yP ≠ 7)
3.(yP – 7) = –2.(yP – 2)
3.yP – 21 = –2yP + 4
3.yP + 2yP = 4 + 21
5.yP = 25
yP = 5 (thỏa mãn)
Vậy P(0; 5).
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M, N, P theo thứ tự là trung điểm cạnh BC, CA, AB.
Câu hỏi:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M, N, P theo thứ tự là trung điểm cạnh BC, CA, AB.
Trả lời:
Lời giải
Cách 1:
Gọi A(xA; yA); B(xB; yB) và C(xC; yC) là tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC.
Ta có:
+) M(4; 0) là trung điểm của BC nên \(\left\{ \begin{array}{l}4 = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\0 = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 8\\{y_B} + {y_C} = 0\end{array} \right.\)(1)
+) N(5; 2) là trung điểm của CA nên \(\left\{ \begin{array}{l}5 = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\2 = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = 10\\{y_A} + {y_C} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 10 – {x_A}\\{y_C} = 4 – {y_A}\end{array} \right.\)(2)
+) P(2; 3) là trung điểm của AB nên \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\3 = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 4\\{y_A} + {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 – {x_A}\\{y_B} = 6 – {y_A}\end{array} \right.\)(3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {4 – {x_A}} \right) + \left( {10 – {x_A}} \right) = 8\\\left( {6 – {y_A}} \right) + \left( {4 – {y_A}} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}14 – 2{x_A} = 8\\10 – 2{y_A} = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3\\{y_A} = 5\end{array} \right.\) A(3; 5)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 – 3 = 1\\{y_B} = 6 – 5 = 1\end{array} \right.\) B(1; 1)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 10 – 3 = 7\\{y_C} = 4 – 5 = – 1\end{array} \right.\) C(7; –1)
Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).
Cách 2:
Do M, N, P
lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Nên MN, NP, PM là các đường trung bình của tam giác ABC.
MN // AB, NP // BC, MP // AC.
+) Do MN // BM và NP // BM nên tứ giác MNPB là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {NP} \)
Gọi B(xB; yB) và có M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3).
\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} = \left( {{x_B} – 4;{y_B}} \right)\) và \(\overrightarrow {NP} = \left( {2 – 5;3 – 2} \right) = \left( { – 3;1} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {NP} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} – 4 = – 3\\{y_B} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1\\{y_B} = 1\end{array} \right.\) B(1; 1)
Tương tự ta cũng có A(3; 5) và C(7; –1).
Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).
Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.
Câu hỏi:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).
Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.Trả lời:
Lời giải
Với A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0) ta có:
+) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 – 2;4 – \left( { – 1} \right)} \right) = \left( { – 1;5} \right)\)
\( \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {26} \)
+) \(\overrightarrow {BC} = \left( {7 – 1;0 – 4} \right) = \left( {6; – 4} \right)\)
\( \Rightarrow BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{\left( { – 4} \right)}^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \)
+) \(\overrightarrow {CA} = \left( {2 – 7; – 1 – 0} \right) = \left( { – 5; – 1} \right)\)
\( \Rightarrow CA = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{{\left( { – 5} \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} = \sqrt {26} \)
Do đó AB = CA \(\left( { = \sqrt {26} } \right)\)
Nên tam giác ABC cân tại A (1)
Mặt khác: \(B{C^2} = {\left( {2\sqrt {13} } \right)^2} = 52\)
Và \(A{B^2} + A{C^2} = {\left( {\sqrt {26} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {26} } \right)^2} = 52\)
BC2 = AB2 + AC2
Theo định lí Pythagoras đảo thì tam giác ABC vuông tại A (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A với \(AB = AC = \sqrt {26} ;BC = 2\sqrt {13} .\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).
Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.
Câu hỏi:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).
Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.Trả lời:
Lời giải
Vì ABC là tam giác vuông cân
Nên để ABDC là hình vuông thì tứ giác ABDC là hình bình hành
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {DB} \)
Gọi D(xD; yD) và có A(2;–1), B(1; 4), C(7; 0).
\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} = \left( { – 5; – 1} \right)\)và \(\overrightarrow {DB} = \left( {1 – {x_D};4 – {y_D}} \right)\)
Do đó \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {DB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 5 = 1 – {x_D}\\ – 1 = 4 – {y_D}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 6\\{y_D} = 5\end{array} \right.\) D(6; 5).
Vậy tọa độ điểm D cần tìm là D(6; 5).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
Tìm toạ độ của điểm P thuộc Ox sao cho PM = PN.
Câu hỏi:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
Tìm toạ độ của điểm P thuộc Ox sao cho PM = PN.Trả lời:
Lời giải
Gọi P(a; 0) là điểm thuộc tia Ox.
Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:
+) \(\overrightarrow {PM} = \left( { – 2 – a;1} \right)\)\( \Rightarrow PM = \left| {\overrightarrow {PM} } \right| = \sqrt {{{\left( { – 2 – a} \right)}^2} + {1^2}} \)
+) \(\overrightarrow {PN} = \left( {4 – a;5} \right)\)\( \Rightarrow PN = \left| {\overrightarrow {PN} } \right| = \sqrt {{{\left( {4 – a} \right)}^2} + {5^2}} \)
Do đó PM = PN \( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { – 2 – a} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {{{\left( {4 – a} \right)}^2} + {5^2}} \)
(–2 – a)2 + 12 = (4 – a)2 + 52
4 + 4a + a2 + 1 = 16 – 8a + a2 + 25
12a = 36
a = 3.
Vậy P(3; 0).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
Tìm toạ độ của điểm Q sao cho \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} .\)
Câu hỏi:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
Tìm toạ độ của điểm Q sao cho \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} .\)Trả lời:
Lời giải
Giả sử điểm Q có tọa độ là Q(x; y).
Với M(–2; 1), N(4; 5) và P(3; 0) ta có:
+) \(\overrightarrow {MQ} = \left( {x + 2;y – 1} \right)\)
+) \(\overrightarrow {PN} = \left( {4 – 3;5 – 0} \right) = \left( {1;5} \right)\)
\( \Rightarrow 2\overrightarrow {PN} = \left( {2;10} \right)\)
Do đó \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 2\\y – 1 = 10\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 11\end{array} \right.\) Q(0; 11).
Vậy Q(0; 11).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====