Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng (overrightarrow {MD} .overrightarrow {BC} + overrightarrow {NE} .overrightarrow {CA} + overrightarrow {PF} .overrightarrow {AB} = 0)

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng
$\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = 0$

Trả lời:

Lời giải
$Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng$\overrightarrow {MD} .\overr (ảnh 1)$
Gọi H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
• Vì D, M lần lượt là hình chiếu của H và O lên BC, nên \(\overrightarrow {MD} $ là hình chiếu của $\overrightarrow {OH} $ trên giá của $\overrightarrow {BC} $
Theo định lí hình chiếu (được giới thiệu ở phần Nhận xét của Ví dụ 2, trang 62, Sách Bài tập Toán 10, tập một) ta có:
$\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OC} – \overrightarrow {OB} } \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC} – \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB} $(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
• $\overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OC} } \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC} $(2)
• $\overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OA} } \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA} $(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
$\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} $
$ = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC} – \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA} $
= 0
Vậy $\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = 0.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ $\overrightarrow {MA} $ và $\overrightarrow {BA} ,$ $\overrightarrow {MA} $ và $\overrightarrow {AC} .$

Câu hỏi:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.
Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ $\overrightarrow {MA} $ và $\overrightarrow {BA} ,$ $\overrightarrow {MA} $ và $\overrightarrow {AC} .$

Trả lời:

Lời giải

Tam giác ABC đều có M là trung điểm của BC nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác và đường cao.
$ \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {MAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ $
Gọi Ax là tia đối của tia AM, tia Ay là tia đối của tia AB.
Do đó $\left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {BA} } \right) = \widehat {xAy} = \widehat {BAM} = 30^\circ $
$\left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {xAC} = 180^\circ – \widehat {MAC}$
$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {AC} } \right) = 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ $
Khi đó ta có:
• $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {BA} } \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BA} = MA.BA.c{\rm{os30}}^\circ $
Xét tam giác BAM vuông tại M, theo định lí Pythagoras ta có:
$MA = \sqrt {B{A^2} – B{M^2}} = \sqrt {{1^2} – {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
$ \Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BA} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.1.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{4}.$
• $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {AC} } \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} = MA.AC.c{\rm{os150}}^\circ $
$ \Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.1.\frac{{ – \sqrt 3 }}{2} = \frac{{ – 3}}{4}.$
Vậy $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BA} = \frac{3}{4}$ và $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} = \frac{{ – 3}}{4}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} .$

Câu hỏi:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.
Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} .$

Trả lời:

Lời giải

• Vì M là trung điểm của BC nên
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$
• N đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BN
$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AC} $$ \Rightarrow \overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} $
Khi đó $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {2\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)$
$ = \frac{1}{2}.\left( {2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} } \right)$
$ = \frac{1}{2}.\left( {2{{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)$
$ = \frac{1}{2}.\left( {2{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}^2} – {{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)$
Mà $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)$
$ = AB.AC.cos\widehat {BAC} = 1.1.\cos 60^\circ = \frac{1}{2}.$
Do đó $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} $$ = \frac{1}{2}.\left( {2A{C^2} – A{B^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)$
$ = \frac{1}{2}.\left( {{{2.1}^2} – {1^2} + \frac{1}{2}} \right)$
$ = \frac{1}{2}.\frac{3}{2} = \frac{3}{4}.$
Vậy $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1. Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {MP} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} .$ Tính độ dài đoạn MP.

Câu hỏi:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.
Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {MP} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} .$ Tính độ dài đoạn MP.

Trả lời:

Lời giải

• Vì P thuộc đoạn thẳng AN thỏa mãn AP = 3PN $ \Rightarrow AP = \frac{3}{4}AN$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}.\left( {2\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} – \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} $
• Ta có: $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} – \overrightarrow {AM} $
$ = \left( {\frac{3}{2}\overrightarrow {AC} – \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} } \right) – \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$
$ = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} – \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $
$ = \left( {\frac{3}{2}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) – \left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right)$
$ = \overrightarrow {AC} – \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} $
$ \Rightarrow MP = \left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} – \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} } \right|$
$ \Rightarrow M{P^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} – \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} } \right)^2}$
$ = {\overrightarrow {AC} ^2} – 2.\frac{5}{4}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \frac{{25}}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2}$
$ = A{C^2} + \frac{{25}}{{16}}A{B^2} – \frac{5}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} $
$ = {1^2} + \frac{{25}}{{16}}{.1^2} – \frac{5}{2}.\frac{1}{2}$
$ = \frac{{21}}{{16}}$
$ \Rightarrow MP = \sqrt {\frac{{21}}{{16}}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.$
Vậy $\overrightarrow {AP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} – \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} ;$$\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AC} – \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} $ và $MP = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $BC = \sqrt 2 .$ Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

Câu hỏi:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $BC = \sqrt 2 .$ Gọi M là trung điểm của AD.
Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

Trả lời:

Lời giải

a) Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b $ khi đó $\left| {\overrightarrow a } \right| = 1$và $\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 .$
Vì AB ⊥ AD nên $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 $
ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:
$\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow a + \overrightarrow b $ (quy tắc hình bình hành)
M là trung điểm của AD nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow b $
Suy ra $\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} – \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow b – \overrightarrow a $
Khi đó $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow b – \overrightarrow a } \right)$
$ = \frac{1}{2}\overrightarrow a .\overrightarrow b – \overrightarrow a .\overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow b .\overrightarrow b – \overrightarrow a .\overrightarrow b $
$ = \frac{1}{2}\overrightarrow 0 – {\overrightarrow a ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow b ^2} – \overrightarrow 0 $ (do $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 $)
$ = – {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + \frac{1}{2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$
$ = – {1^2} + \frac{1}{2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 0$
Do đó $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BM} $
AC ⊥ BM.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $BC = \sqrt 2 .$ Gọi M là trung điểm của AD. Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Câu hỏi:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $BC = \sqrt 2 .$ Gọi M là trung điểm của AD.
Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Trả lời:

Lời giải

• Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:
AC² = AB² + BC² = 1 + ${\left( {\sqrt 2 } \right)^2}$= 3
$ \Rightarrow AC = \sqrt 3 $
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AB² = AH.AC $ \Rightarrow AH = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} = \frac{{{1^2}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
$ \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}:\sqrt 3 = \frac{1}{3}$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $
Khi đó $\overrightarrow {HC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {HA} = – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $
Ta có $\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} $ (quy tắc ba điiểm)
Vì N là trung điểm của AH nên $\overrightarrow {NA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HA} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {NB} = \frac{1}{2}.\left( { – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AB} $
$ = – \frac{1}{6}.\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow a $
$ = \frac{5}{6}\overrightarrow a – \frac{1}{6}\overrightarrow b $
• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:
$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {NP} $$ \Rightarrow \overrightarrow {NP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {HC} } \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {NP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} $
$ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $
$ = \frac{1}{2}\overrightarrow b + \frac{1}{3}.\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)$
$ = \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{5}{6}.\overrightarrow b $
Khi đó $\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow a – \frac{1}{6}\overrightarrow b } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{5}{6}.\overrightarrow b } \right)$
$ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow a ^2} + \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow a .\overrightarrow b – \frac{1}{{18}}\overrightarrow a .\overrightarrow b – \frac{5}{{36}}{\overrightarrow b ^2}$
$ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow a ^2} + \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow a .\overrightarrow b – \frac{1}{{18}}\overrightarrow a .\overrightarrow b – \frac{5}{{36}}{\overrightarrow b ^2}$
$ = \frac{5}{{18}}{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow 0 – \frac{1}{{18}}\overrightarrow 0 – \frac{5}{{36}}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$ (do $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 $)
$ = \frac{5}{{18}}{.1^2} – \frac{5}{{36}}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}$
$ = \frac{5}{{18}} – \frac{5}{{36}}.2 = 0$
Do đó $\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {NB} \bot \overrightarrow {NP} $
NB ⊥ NP.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy