Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên 0;+∞ thỏa mãn f(0) = 0, limx→0fxx=1 và f”x+f’x2+x2=1+2xf’x. Tính f(2)

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên $\left(0;+\infty \right)$ thỏa mãn f(0) = 0, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=1$ và $f‘‘\left(x\right)+{\left[f‘\left(x\right)\right]}^2+x^2=1+2xf‘\left(x\right)$. Tính f(2)

A. 1 + ln3

B. 2 + ln3

Đáp án chính xác

C. 2 – ln3

D. 1 – ln3

Trả lời:

Chọn B
Do $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=1\iff \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=1\iff f‘\left(0\right)=1$.
Ta có: $f‘‘\left(x\right)+{\left[f‘\left(x\right)\right]}^2+x^2=1+2xf‘\left(x\right)\iff {\left[f‘\left(x\right)-x\right]}^2=-\left(f‘‘\left(x\right)-1\right)$, (1)
Đặt $g\left(x\right)=f‘\left(x\right)-x\Rightarrow g‘\left(x\right)=f‘‘\left(x\right)-1$, nên (1) trở thành $g^2\left(x\right)=-g‘\left(x\right)\Rightarrow \frac{g‘\left(x\right)}{g^2\left(x\right)}=-1.$
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được $-\frac{1}{g\left(x\right)}=-x+C\Rightarrow g\left(x\right)=\frac{1}{x-C}\Rightarrow f‘\left(x\right)=x+\frac{1}{x-C}$
Cho $x=0\Rightarrow f‘\left(0\right)=\frac{1}{-C}\Rightarrow C=-1$. Do đó $f‘\left(x\right)=x+\frac{1}{x+1}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\ln \left|x+1\right|+C_1$
Mặt khác $f\left(0\right)=0\Rightarrow C_1=0$. Suy ra $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\ln \left|x+1\right|$. Vậy $f\left(2\right)=2+\ln 3$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y=12x?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{1}{2x}$?

   A. $\ln \left|2x\right|$

   B. $2\ln \left|x\right|$

   C. $\frac{1}{2}\ln \left|x\right|$

   Đáp án chính xác

   D. $\frac{-1}{2x^2}$

   Trả lời:

   Chọn C
   $\int \frac{1}{2x}\text{d}x=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x}\text{d}x=\frac{1}{2}\ln \left|x\right|+C\Rightarrow \frac{1}{2}\ln \left|x\right|$  là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{1}{2x}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số f(x) có đạo hàm là f’x=xx−12x−23. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số f(x) có đạo hàm là $f^{‘}\left(x\right)=x{\left(x-1\right)}^2{\left(x-2\right)}^3$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

   A. 0

   B. 1

   C. 2

   Đáp án chính xác

   D. 3

   Trả lời:

   Chọn C
   $f^{‘}\left(x\right)=0\iff x{\left(x-1\right)}^2{\left(x-2\right)}^3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2.\end{array}\right.$
   Trong các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 thì x = 0, x = 2 là các nghiệm bội lẻ nên chúng là cực trị của hàm số f(x). Còn x = 1 là nghiệm bội chẵn nên nó không phải là cực trị của hàm số f(x).

   Vậy hàm số đã cho có 2 cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tập nghiệm của bất phương trình log122x−1>0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(2x-1\right)>0$

   A. $\left(-\infty ;1\right)$

   B. $\left(1;+\infty \right)$

   C. $\left(\frac{1}{2};1\right)$

   Đáp án chính xác

   D. $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

   Trả lời:

   Chọn C
   Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(2x-1\right)>0\iff 0<2x-1<1\iff \frac{1}{2}<x<1$.
   Vậy tập nghiệm $S=\left(\frac{1}{2};1\right)$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Mô-đun của số phức z=3+4i1−2i bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Mô-đun của số phức $z=\left(3+4i\right)\left(1-2i\right)$ bằng

   A. 25

   B. $25\sqrt{5}$

   C. 5

   D. $5\sqrt{5}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   $z=\left(3+4i\right)\left(1-2i\right)=11-2i\Rightarrow \left|z\right|=5\sqrt{5}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số fx=3x+1. Tính I=∫01fxf’xdx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{3x+1}$. Tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)f^{‘}\left(x\right)\text{d}x$

   A. $I=1$

   B. $I=3$

   C. $I=\frac{3}{2}$

   Đáp án chính xác

   D. $I=\frac{1}{2}$

   Trả lời:

   Chọn C
   $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)f^{‘}\left(x\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}\left(f\left(x\right)\right)={\left.\frac{f^2\left(x\right)}{2}\right|}_0^1=\frac{3.1+1}{2}-\frac{3.0+1}{2}=\frac{3}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====