Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu hỏi:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\forall x\in \mathbb{N}*,x^3-x$ là bội số của 3

Đáp án chính xác

B. $\exists x\in \mathbb{Q},x^2=3$

C. $\forall x\in \mathbb{N},2^x+1$ là số nguyên tố

D. $\forall x\in \mathbb{N},2^x\ge x+2$

Trả lời:

Đáp án AĐáp án B sai vì $x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$ là số vô tỉĐáp án C sai vì $x=3\Rightarrow 2^3+1=9$ là hợp sốĐáp án D sai vì $x=0\Rightarrow 2^0=1<0+2=2$Đáp án A đúng, ta chứng minh như sau:Ta có: $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$Với $x\in \mathbb{N}*$ thì ba số $x-1,x,x+1$ là ba số tự nhiên liên tiếp nên trong ba số đó chắc chắn có một số chia hết cho 3 hay tích của chúng chia hết cho 3

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tìm mệnh đề đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm mệnh đề đúng:

   A. “3 + 6 ≤ 8”

   B. $“\sqrt{15}>4\Rightarrow 3\ge \sqrt{3}“$

   Đáp án chính xác

   C. $“\forall x\in ℝ,x^2>0“$

   D. “Tam giác ABC vuông tại A $\iff A{B}^2 + B{C}^2 = A{C}^2$”

   Trả lời:

   Đáp án BMệnh đề “3 + 6 ≤ 8” sai vì 3 + 6 = 9 > 8Mệnh đề “$\sqrt{15}>4\Rightarrow 3\ge \sqrt{3}$” đúng vì mệnh đề $\sqrt{15}>4$ sai nên “$\sqrt{15}>4\Rightarrow 3\ge \sqrt{3}$” luôn đúng.Mệnh đề “$\forall x\in ℝ,x^2>0$” sai vì nếu x = 0 thì $0^2 > 0$ là sai.Mệnh đề “Tam giác ABC vuông tại A $\iff A{B}^2 + B{C}^2 = A{C}^2$” sai vì “Tam giác ABC vuông tại A $\iff A{B}^2 + A{C}^2 = B{C}^2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi x, y, z bất kì thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra x&lt;y−z;y&lt;z−x;z&lt;x−y”Một học sinh đã lập luận tuần tự như sau:(I) Giả định các đẳng thức xảy ra đồng thời.(II) Thế thì nâng lên bình phương hai vế các bất đẳng thức, chuyển vế phải sang vế trái, rồi phân tích, ta được:(x – y + z)(x + y – z) &lt; 0(y – z + x)(y + z – x) &lt; 0(z – x + y)(z + x – y) &lt; 0(III) Sau đó, nhân vế theo vế ta thu được:(x–y+z)2(x+y–z)(x+y+z)&lt;0 (vô lí)Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi x, y, z bất kì thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra $\left|x\right|<\left|y-z\right|;\left|y\right|<\left|z-x\right|;\left|z\right|<\left|x-y\right|$”Một học sinh đã lập luận tuần tự như sau:(I) Giả định các đẳng thức xảy ra đồng thời.(II) Thế thì nâng lên bình phương hai vế các bất đẳng thức, chuyển vế phải sang vế trái, rồi phân tích, ta được:(x – y + z)(x + y – z) < 0(y – z + x)(y + z – x) < 0(z – x + y)(z + x – y) < 0(III) Sau đó, nhân vế theo vế ta thu được:${(x–y+z)}^2(x+y–z)(x+y+z)<0$ (vô lí)Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?

   A. (I)

   B. (II)

   C. (III)

   D. Lý luận đúng

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DGiả sử các bất đẳng thức $\left|x\right|<\left|y-z\right|;\left|y\right|<\left|z-x\right|;\left|z\right|<\left|x-y\right|$ đồng thời xảy ra.Khi đó:$\left|x\right|<\left|y-z\right|\Rightarrow x^2-{(y-z)}^2<0\iff (x-y+z)(x+y-z)<0\left|y\right|<\left|z-x\right|\Rightarrow y^2-{(z-x)}^2<0\iff (y-z+x)(y+z-x)<0\left|z\right|<\left|x-y\right|\Rightarrow z^2-{(x-y)}^2<0\iff (z-x+y)(z+x-y)<0$Nhân vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được:${(x-y+z)}^2{(x+y-z)}^2{(-x+y+z)}^2<0$ (vô lí)Vậy lập luận đó đúng

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. “Chứng minh rằng 2 là số vô tỉ”. Một học sinh đã lập luận như sau:Bước 1: Giả sử 2 là số hữu tỉ, thế thì tồn tại các số nguyên dương m, n sao cho 2=mn (1)Bước 2: Ta có thể giả định thêm mn là phân số tối giảnTừ đó 2n2=m2 (2)Suy ra m2 chia hết cho 2 ⇒ m chia hết cho 2 ⇒ ta có thể viết m = 2pNên (2) trở thành n2=2p2Bước 3: Như vậy ta cũng suy ra n chia hết cho 2 và cũng có thể viết n = 2qVà (1) trở thành 2=2p2q=pq⇒mn không phải là phân số tối giản, trái với giả thiếtBước 4: Vậy 2 là số vô tỉ.Lập luận trên đúng tới hết bước nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   “Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ”. Một học sinh đã lập luận như sau:Bước 1: Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ, thế thì tồn tại các số nguyên dương m, n sao cho $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ (1)Bước 2: Ta có thể giả định thêm $\frac{m}{n}$ là phân số tối giảnTừ đó $2n^2=m^2$ (2)Suy ra $m^2$ chia hết cho 2 $\Rightarrow$ m chia hết cho 2 $\Rightarrow$ ta có thể viết m = 2pNên (2) trở thành $n^2=2p^2$Bước 3: Như vậy ta cũng suy ra n chia hết cho 2 và cũng có thể viết n = 2qVà (1) trở thành $\sqrt{2}=\frac{2p}{2q}=\frac{p}{q}\Rightarrow \frac{m}{n}$ không phải là phân số tối giản, trái với giả thiếtBước 4: Vậy $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.Lập luận trên đúng tới hết bước nào?

   A. Bước 1

   B. Bước 2

   C. Bước 3

   D. Bước 4

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DDựa vào các bước chứng minh ta thấy lập luận đó là chính xác tất cả các bước

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

   A. Điều kiện cần để tứ giác là hình thang cân là tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau

   B. Điều kiện đủ để số tự nhiên n chia hết cho 24 là n chia hết cho 6 và 4

   Đáp án chính xác

   C. Điều kiện đủ để $n^2+20$ là một hợp số là n là số nguyên tố lớn hơn 3

   D. Điều kiện đủ để $n^2–1$ chia hết cho 24 là n là số nguyên tố lớn hơn 3

   Trả lời:

   Đáp án BĐáp án A: Nếu tứ giác là hình thang cân thì nó có hai đường chéo bằng nhau.Đây là mệnh đề đúng.Đáp án B: Nếu số tự nhiên n chia hết cho 6 và 4 thì nó chia hết cho 24.Đây là mệnh đề sai, chẳng hạn số n = 12.Đáp án C: Nếu n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì $n^2 + 20$ là một hợp số.Mệnh đề đúng vì nếu n nguyên tố lớn hơn 3 thì n chia cho 3 dư 1 hoặc 2.+ TH1:$n=3k+1\Rightarrow n^2+20={(3k+1)}^2+20=9k^2+6k+21⋮3$+ TH2:$n=3k+2\Rightarrow n^2+20={(3k+2)}^2+20=9k^2+12k+24⋮3$Do đó ta luôn có $n^2 + 20$ là hợp sốĐáp án D: nếu n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì $n^2 – 1$ chia hết cho 24Mệnh đề đúng vì nếu n nguyên tố lớn hơn 3 thì n chia cho 3 dư 1 hoặc 2+ TH1:$n=3k+1\Rightarrow n^2-1={(3k+1)}^2-1=9k^2+6k=3k(3k+2)⋮3$+ TH2:$n=3k+2\Rightarrow n^2-1={(3k+2)}^2-1=9k^2+12k+3=3(3k^2+4k+1)⋮3$Do dó ta luôn có $n^2 – 1$ Ngoài ra n nguyên tố lớn hơn 3 nên n lẻ, do đó:$n=2m+1\Rightarrow n^2-1={(2m+1)}^2-1=4m^2+4m=4m(m+1)⋮\left(4.2\right)=8$Vậy $n^2-1⋮\left(3.8\right)=24$Vậy các mệnh đề A, C, D đều đúng

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Mệnh đề đảo của mệnh đề “Ba số tự nhiên liên tiếp thì có tổng chia hết cho 3” được phát biểu là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Mệnh đề đảo của mệnh đề “Ba số tự nhiên liên tiếp thì có tổng chia hết cho 3” được phát biểu là:

   A. Ba số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 thì liên tiếp

   Đáp án chính xác

   B. Ba số tự nhiên chia hết cho 3 thì liên tiếp

   C. Ba số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 thì mỗi số chia hết cho 3

   D. Ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3

   Trả lời:

   Đáp án AMệnh đề P: “Ba số tự nhiên là ba số tự nhiên liên tiếp”.Mệnh đề Q: “Ba số tự nhiên có tổng chia hết cho 3”.Khi đó, Q⇒P được phát biểu là:“Nếu ba số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 thì ba số tự nhiên đó là ba số tự nhiên liên tiếp”.Nói gọn: “Ba số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 thì liên tiếp”

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====