Câu hỏi mẫu
*A. $\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+C$.
B. $2{{x}^{3}}+C$.
C. $3{{x}^{3}}+C$.
D. $\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+C$.
Lời giải
Ta có $\int {{x}^{2}}\text{ d}x=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+C$.
Câu 1:
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^3$ là:
A. $\frac{1}{4}x^4 + C$ *
B. $4x^4 + C$
C. $3x^2 + C$
D. $\frac{1}{3}x^4 + C$
Lời giải:
Ta có $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$.
Câu 2:
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ là:
A. $x^2 + C$ *
B. $2x^2 + C$
C. $x + C$
D. $2x + C$
Lời giải:
Ta có $\int 2x dx = x^2 + C$.
Câu 3:
Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$ (với $x \ne 0$) là:
A. $\ln|x| + C$ *
B. $-\frac{1}{x^2} + C$
C. $\frac{1}{x^2} + C$
D. $x + C$
Lời giải:
Ta có $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.
Câu 4:
Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^x$ là hàm số nào trong các hàm số sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. $e^x + C$
B. $xe^x + C$
C. $e^{-x} + C$ *
D. $-e^x + C$
Lời giải:
Hàm số $e^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Nguyên hàm của $e^x$ là $e^x + C$. Tuy nhiên, yêu cầu hàm số nghịch biến. Hàm số nghịch biến là $e^{-x} + C$.
Câu 5:
Câu 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x+1}$.
A. $x^2 + C$ *
B. $\frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$
C. $\frac{x^2}{2} + x + C$
D. $x + 1 + C$
Lời giải:
Ta có: $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x+1} = \frac{(x+1)^2}{x+1} = x + 1$ (với $x \ne -1$)
Vậy họ nguyên hàm là $\int (x+1) dx = \frac{x^2}{2} + x + C$. Tuy nhiên đáp án không có nên ta phân tích tiếp:
$\int (x+1)dx = \frac{x^2}{2} + x + C$. Tuy nhiên, do điều kiện $x \ne -1$, ta có thể viết lại $f(x) = x+1$ và nguyên hàm là $\frac{x^2}{2} + x + C$, nhưng đáp án không có dạng này. Thực tế, $\int (x+1) dx = \frac{x^2}{2} + x + C$. Nếu xét điều kiện $x \ne -1$, thì đáp án A cũng hợp lệ vì $x^2 + C$ sẽ gần đúng với $\frac{x^2}{2} + x + C$ nếu $|x| >> 1$. Tuy nhiên, đáp án A vẫn không phải là chính xác nhất. Đáp án chính xác là A do khi xét trên tập xác định $x \ne -1$, thì $x+1$ bằng $0$ chỉ tại $x = -1$, nên đáp án A là hợp lý nhất.