Bài toán khảo sát sự đơn điệu của hàm số bậc bốn trùng phương

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

Dạng bài: Khảo sát sự đơn điệu của hàm số bậc bốn trùng phương.

Kiến thức liên quan: Đạo hàm, bảng biến thiên, điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu. Cụ thể là tìm đạo hàm của hàm số bậc bốn trùng phương, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm dừng, lập bảng biến thiên và xác định khoảng đơn điệu.

Mức độ: Thông hiểu. Bài toán này không quá phức tạp, chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về đạo hàm và bảng biến thiên.

Phương pháp giải chi tiết:

1. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 2$, ta được $y’ = 4x^3 – 4x$.
2. Tìm nghiệm của đạo hàm: Giải phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow 4x^3 – 4x = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 1, x = -1$.
3. Lập bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên dựa trên các nghiệm của đạo hàm và xét dấu của đạo hàm trên từng khoảng.
4. Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên, xác định khoảng nghịch biến của hàm số. Trong trường hợp này, hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Hàm số $y = x^4 – 4x^2 + 3$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-1; 0)$
B. $(-2; 0)$
*C. $(0; 1)$
D. $(1; 2)$
Lời giải: $y’ = 4x^3 – 8x = 4x(x^2 – 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm \sqrt{2}$. Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên $(0; 1)$.

Câu 2: Cho hàm số $y = x^4 – 2x^2 – 1$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-1; 0)$
*B. $(0; 1)$
C. $(-\infty; -1)$
D. $(1; +\infty)$
Lời giải: $y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 1$. Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên $(0; 1)$.

Câu 3: Hàm số $y = x^4 – 8x^2 + 1$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-2; 0)$
*B. $(0; 2)$
C. $(-\infty; -2)$
D. $(2; +\infty)$
Lời giải: $y’ = 4x^3 – 16x = 4x(x^2 – 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 2$. Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$.

Câu 4: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y = x^4 – 6x^2 + 8$.
A. $(- \sqrt{3}; 0)$
B. $(0; \sqrt{3})$
*C. $(-\sqrt{3}; 0) \cup (0; \sqrt{3})$
D. $(- \infty; – \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; \infty)$
Lời giải: $y’ = 4x^3 – 12x = 4x(x^2 – 3) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm \sqrt{3}$. Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên $(-\sqrt{3}; 0) \cup (0; \sqrt{3})$.

Câu 5: Hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 1$ nghịch biến trên khoảng
A. $(-1; 1)$
*B. $(1; \infty)$
C. $(-\infty; -1)$
D. $(- \infty; 0)$
Lời giải: $y’ = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 1$. Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên $(1; \infty)$.

Câu 6: Khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{1}{4}x^4 – 2x^2 + 3$ là:
A. $(-2; 0)$
*B. $(0; 2)$
C. $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$
D. $(- \infty; 0)$
Lời giải: $y’ = x^3 – 4x = x(x^2 – 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 2$. Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$.

Câu 7: Hàm số $y = 2x^4 – 4x^2 + 1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; -1)$
B. $(-1; 0)$
*C. $(0; 1)$
D. $(1; +\infty)$
Lời giải: $y’ = 8x^3 – 8x = 8x(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 1$. Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên $(0; 1)$.

Câu 8: Hàm số $y = x^4 – 4x^2 + 2$ nghịch biến trên khoảng:
A. $(-\infty; -\sqrt{2})$
B. $(-\sqrt{2}; 0)$
*C. $(0; \sqrt{2})$
D. $(\sqrt{2}; +\infty)$
Lời giải: $y’ = 4x^3 – 8x = 4x(x^2 – 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm \sqrt{2}$. Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên $(0; \sqrt{2})$.

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^4 – 2mx^2 + 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$.
A. $m \le 0$
B. $m \ge 2$
*C. $m \ge 1$
D. $m \le 1$
Lời giải: $y’ = 4x^3 – 4mx = 4x(x^2 – m) = 0$. Để hàm số nghịch biến trên $(0; 1)$, thì $y’ \le 0$ trên $(0; 1)$, tức là $x^2 \le m$ với $x \in (0; 1)$. Điều này xảy ra khi $m \ge 1$.

Câu 10: Cho hàm số $y = x^4 – (m + 1)x^2 + m$. Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 0)$.
A. $m \ge 1$
B. $m \le \frac{1}{2}$
*C. $m \le \frac{1}{4}$
D. $m \ge \frac{1}{4}$
Lời giải: $y’ = 4x^3 – 2(m+1)x = 2x(2x^2 – (m+1)) = 0$. Để hàm số nghịch biến trên $(-1; 0)$, thì $y’ \le 0$ trên $(-1; 0)$, tức là $2x^2 \le m+1$ với $x \in (-1; 0)$. Điều này xảy ra khi $2x^2 \le m+1$ luôn đúng trên $(-1; 0)$. Vì $2x^2$ đạt max là 2 khi x = -1, nên $2 \le m+1 \implies m \ge 1$. Tuy nhiên, nếu $m+1 < 0$, thì $y' > 0$ trên $(-1; 0)$, nên hàm số đồng biến trên $(-1; 0)$.
Xét $2x^2 \le m+1$ với $x \in (-1; 0)$. Khi x = -1/2, $2(1/4) = 1/2 \le m+1$, nên $m \ge -1/2$.
Nếu $m \le -1$, $y’ < 0$ trên $(-1; 0)$, hàm số nghịch biến. Nhưng $m \le -1/2$ sẽ khiến đạo hàm đổi dấu trên $(-1; 0)$. Như vậy điều kiện là $m \le 1/4$.