Phân tích câu hỏi mẫu
Câu hỏi mẫu thuộc dạng bài tìm nguyên hàm của hàm số đa thức. Kiến thức liên quan là định nghĩa và tính chất của nguyên hàm, cụ thể là công thức nguyên hàm của hàm số dạng $x^n$. Mức độ của câu hỏi là Nhận biết. Phương pháp giải là áp dụng trực tiếp công thức nguyên hàm cơ bản $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n \ne -1$.
Các câu hỏi tương tự
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^4$ là
A. $\frac{1}{5}x^5 + C$
B. $4x^3 + C$
C. $5x^5 + C$
D. *$\frac{1}{4}x^5 + C$
Lời giải:
Ta có $\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{5}x^5 + C$. Đáp án A sai vì thiếu hệ số $\frac{1}{5}$. Đáp án B sai vì đạo hàm của $4x^3$ là $12x^2$, không bằng $x^4$. Đáp án C sai vì đạo hàm của $5x^5$ là $25x^4$, không bằng $x^4$. Đáp án D đúng.
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 – 2x + 1$ là
A. $x^3 – x^2 + x + C$
B. $x^3 – x^2 + C$
C. *$x^3 – x^2 + x + C$
D. $9x – 2 + C$
Lời giải:
$\int (3x^2 – 2x + 1) dx = \int 3x^2 dx – \int 2x dx + \int 1 dx = x^3 – x^2 + x + C$
Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x^3}$ là
A. $-\frac{1}{2x^2} + C$
B. $-\frac{3}{x^4} + C$
C. *$-\frac{1}{2x^2} + C$
D. $\frac{1}{2x^2} + C$
Lời giải:
$\int \frac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$
Câu 4: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = (x+1)(x-2)$ sao cho $F(0) = 1$.
A. $F(x) = \frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x + 1$
B. $F(x) = x^3 – x^2 – 2x + 1$
C. $F(x) = \frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x$
D. *$F(x) = \frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x + 1$
Lời giải:
$f(x) = x^2 – x – 2$, $\int f(x) dx = \frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x + C$.
$F(0) = 1 \Rightarrow C = 1$. Vậy $F(x) = \frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x + 1$.
Câu 5: Cho $\int_1^a (3x^2 + 2x) dx = 10$. Tìm giá trị của $a$.
A. $a = 2$
B. $a = -1$
C. *$a = 2$
D. $a = 1$
Lời giải:
$\int_1^a (3x^2 + 2x) dx = [x^3 + x^2]_1^a = (a^3 + a^2) – (1 + 1) = a^3 + a^2 – 2 = 10$.
$a^3 + a^2 – 12 = 0 \Rightarrow (a-2)(a^2 + 3a + 6) = 0$.
Vì $a^2 + 3a + 6$ vô nghiệm thực nên $a = 2$.