Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a, ∠SAB=∠SCB=900, cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại $B,AB=a,\angle SAB=\angle SCB={90}^0,$ cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc ${60}^0.$ Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 

A. $S=5\pi a^2$

Đáp án chính xác

B. $S=3\pi a^2$

C. $S=\frac{5}{4}\pi a^2$

D. $S=\frac{5}{3}\pi a^2$

Trả lời:

Phương pháp:
– Gọi I là trung điểm SB. Chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
– Xác định góc giữa SA và (ABC).
– Đặt SB = x (x > a) tính SA, SM, SH theo x.
– Tính $S_{\Delta SBM}=\sqrt{p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)}$ với p là nửa chu vi tam giác SBM.
– Giải phương trình $\sqrt{p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)}=\frac{1}{2}SH.BM$ tìm x theo a và suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
– Diện tích mặt cầu bán kính R là $S=4\pi R^2.$
Cách giải:

Gọi I là trung điểm của SB.
Vì $\angle SAB=\angle SCB={90}^0$ nên $IA=IC=\frac{1}{2}SB=IS=IB\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của AC ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $B\Rightarrow BM\perp AC$.
Lại có $\Delta SAB=\Delta SCB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow SA=SC.$
$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S\Rightarrow SM\perp AC$,
$\Rightarrow AC\perp \left(SMB\right)$.
Trong (SBM) kẻ $SH\perp BM$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}SH\perp BM\\ SH\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right).$
$\Rightarrow HA$ là hình chiếu vuông góc của SA lên $\left(ABC\right)\Rightarrow \angle \left(SA;\left(ABC\right)\right)=\angle \left(SA;HA\right)=\angle SAH={60}^0,$
Đặt SB = x (x > a) ta có $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{x^2-a^2}.$
Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại B có AB = a nên $AC=a\sqrt{2},BM=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow SM=\sqrt{S{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{x^2-a^2-\frac{a^2}{2}}=\sqrt{x^2-\frac{3a^2}{2}}.$
Gọi p là nửa chu vi tam giác SBM ta có $p=\frac{SB+BM+SM}{2}=\frac{x+\frac{a\sqrt{2}}{2}+\sqrt{x^2-\frac{3a^2}{2}}}{2}.$
Xét tam giác vuông SAH ta có $SH=SA.\sin {60}^0=\sqrt{x^2-a^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow S_{\Delta SBM}=\sqrt{p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)}=\frac{1}{2}SH.BM$
$\Rightarrow \sqrt{p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)}=\frac{1}{2}.\sqrt{x^2-a^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\iff 8\sqrt{p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)}=\sqrt{6}.\sqrt{x^2-a^2}$
$\iff 64p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)=6\left(x^2-a^2\right)$
$\iff x=a\sqrt{5}$
$\Rightarrow$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là $R=\frac{1}{2}SB=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S=4\pi R^2=4\pi .{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}a\right)}^2=5\pi a^2.$
Chọn A.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho F(x) là một nguyên hàm và F0=π. Tìm Fπ2 hàm số fx=sin3x.cosx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho F(x) là một nguyên hàm và $F\left(0\right)=\pi .$ Tìm $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số $f\left(x\right)={\sin }^{3}x.\cos x$

   A. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{4}+\pi .$

   Đáp án chính xác

   B. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{4}+\pi$

   C. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\pi .$

   D. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi .$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt t = sin x
   Cách giải:
   Đặt $t=\sin x\Rightarrow dx=\cos xdx.$
   $\Rightarrow F\left(x\right)=\int {\sin }^{3}x.\cos xdx=\int t^{3}dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C.$
   Mà $F\left(0\right)=\pi \Rightarrow C=\pi .$
   $F\left(x\right)=\frac{1}{4}{\sin }^{4}x+\pi .$
   Vậy $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{4}{\sin }^4\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{1}{4}+\pi .$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hàm số y=πx có đạo hàm là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y={\pi }^x$ có đạo hàm là: 

   A. ${\pi }^x.$

   B. $\frac{{\pi }^x}{\ln \pi }$

   C. ${\pi }^x\ln \pi .$

   Đáp án chính xác

   D. ${\pi }^{x-1}.$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ: $\left(a^x\right)‘=a^x\ln a.$
   Cách giải:
   $y={\pi }^x\Rightarrow y‘={\pi }^x\ln \pi .$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−6x+6y−2z−6=0. Phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-6x+6y-2z-6=0.$ Phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) là

   A. $4x+3z+16=0$

   B. $2x-6y+3z-28=0$

   C. $4x-3z+16=0$

   Đáp án chính xác

   D. $4x-3y-5=0$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   – Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
   – Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) nhận $\overrightarrow{IA}$ là 1 VTPT.
   – Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0.$
   Cách giải:
   Mặt cầu (S) có tâm I(3; -3; 1) bán kính $R=\sqrt{3^2+{\left(-3\right)}^2+1^2+6}=5.$
   Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) nên $IA\perp \left(P\right)\Rightarrow \left(P\right)$ nhận $\overrightarrow{IA}=\left(-4;0;3\right)$ làm 1 VTPT.
   $\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng $\left(P\right):-4\left(x+1\right)+3\left(z-4\right)=0\iff 4x-3z+16=0.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:

   A. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=6$

   B. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=36$

   C. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=36$

   Đáp án chính xác

   D. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=6$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   – Tính bán kính mặt cầu $R=IO=\sqrt{x_I^2+y_I^2+z_I^2}.$
   – Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là $\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2.$
   Cách giải:
   Bán kính mặt cầu là $R=IO=\sqrt{x_I^2+y_I^2+z_I^2}=\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2+2^2}=6.$
   Vậy phương trình mặt cầu là: ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=36.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
   
   Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

   A. 0                             

   B. 1                             

   C. -3                           

   Đáp án chính xác

   D. -4

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Dựa vào BBT xác định giá trị cực đại của hàm số là giá trị của hàm số tại điểm cực đại – điểm mà qua đó hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.
   Cách giải:
   Dựa vào BBT $\Rightarrow y_{CD}=y\left(0\right)=-3.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====