Cho vật thể có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x2+y2=R2. Biết rằng khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x−R≤x≤R thì được thiết diện là một hình vuông. Để thể tích V của vật thể đó bằng 2021 (đơn vị thể tích) thì R thuộc khoảng nào sau đây?

Câu hỏi:

Cho vật thể có đáy là một hình tròn giới hạn bởi $x^2+y^2=R^2.$ Biết rằng khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x\left(-R\le x\le R\right)$ thì được thiết diện là một hình vuông. Để thể tích V của vật thể đó bằng 2021 (đơn vị thể tích) thì R thuộc khoảng nào sau đây?

A. (6; 7)

B. (7; 8)

Đáp án chính xác

C. (9; 10)

D. (8; 9)

Trả lời:

Phương pháp:
Giả sử vật thể T giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a, x = b. Cắt vật thể T bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x\left(a\le x\le b\right)$ được thiết diện có thể tích S(x) Khi đó thể tích vật thể T là $V_T=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx.$
Cách giải:

Giả sử vật thể là hình trụ $\Rightarrow$ Thiết diện ABCD là hình vuông.
Ta có $DH=\sqrt{O{D}^2-D{H}^2}=\sqrt{R^2-x^2}\Rightarrow CD=2\sqrt{R^2-x^2}.$
$\Rightarrow S_{ABCD}=C{D}^2=4\left(R^2-x^2\right).$
Khi đó thể tích vật thể là:
$V=\underset{-R}{\overset{R}{\int }}4\left(R^2-x^2\right)dx=4\left(R^{2}x-\frac{x^3}{3}\right)\left|\begin{array}{l}R\\ -R\end{array}\right.$
$=4\left(R^3-\frac{R^3}{3}+R^3-\frac{R^3}{3}\right)=\frac{16R^3}{3}$
$\Rightarrow \frac{16R^3}{3}=2021\iff R\approx 7,24\in \left(7;8\right).$
Chọn B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho F(x) là một nguyên hàm và F0=π. Tìm Fπ2 hàm số fx=sin3x.cosx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho F(x) là một nguyên hàm và $F\left(0\right)=\pi .$ Tìm $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số $f\left(x\right)={\sin }^{3}x.\cos x$

   A. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{4}+\pi .$

   Đáp án chính xác

   B. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{4}+\pi$

   C. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\pi .$

   D. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi .$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt t = sin x
   Cách giải:
   Đặt $t=\sin x\Rightarrow dx=\cos xdx.$
   $\Rightarrow F\left(x\right)=\int {\sin }^{3}x.\cos xdx=\int t^{3}dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C.$
   Mà $F\left(0\right)=\pi \Rightarrow C=\pi .$
   $F\left(x\right)=\frac{1}{4}{\sin }^{4}x+\pi .$
   Vậy $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{4}{\sin }^4\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{1}{4}+\pi .$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hàm số y=πx có đạo hàm là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y={\pi }^x$ có đạo hàm là: 

   A. ${\pi }^x.$

   B. $\frac{{\pi }^x}{\ln \pi }$

   C. ${\pi }^x\ln \pi .$

   Đáp án chính xác

   D. ${\pi }^{x-1}.$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ: $\left(a^x\right)‘=a^x\ln a.$
   Cách giải:
   $y={\pi }^x\Rightarrow y‘={\pi }^x\ln \pi .$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−6x+6y−2z−6=0. Phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-6x+6y-2z-6=0.$ Phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) là

   A. $4x+3z+16=0$

   B. $2x-6y+3z-28=0$

   C. $4x-3z+16=0$

   Đáp án chính xác

   D. $4x-3y-5=0$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   – Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
   – Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) nhận $\overrightarrow{IA}$ là 1 VTPT.
   – Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0.$
   Cách giải:
   Mặt cầu (S) có tâm I(3; -3; 1) bán kính $R=\sqrt{3^2+{\left(-3\right)}^2+1^2+6}=5.$
   Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) nên $IA\perp \left(P\right)\Rightarrow \left(P\right)$ nhận $\overrightarrow{IA}=\left(-4;0;3\right)$ làm 1 VTPT.
   $\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng $\left(P\right):-4\left(x+1\right)+3\left(z-4\right)=0\iff 4x-3z+16=0.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:

   A. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=6$

   B. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=36$

   C. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=36$

   Đáp án chính xác

   D. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=6$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   – Tính bán kính mặt cầu $R=IO=\sqrt{x_I^2+y_I^2+z_I^2}.$
   – Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là $\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2.$
   Cách giải:
   Bán kính mặt cầu là $R=IO=\sqrt{x_I^2+y_I^2+z_I^2}=\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2+2^2}=6.$
   Vậy phương trình mặt cầu là: ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=36.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
   
   Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

   A. 0                             

   B. 1                             

   C. -3                           

   Đáp án chính xác

   D. -4

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Dựa vào BBT xác định giá trị cực đại của hàm số là giá trị của hàm số tại điểm cực đại – điểm mà qua đó hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.
   Cách giải:
   Dựa vào BBT $\Rightarrow y_{CD}=y\left(0\right)=-3.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====