Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; 4; 2), bán kính bằng 2. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng 72. Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị AM.AN bằng

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; 4; 2), bán kính bằng 2. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng $\frac{7}{2}$. Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị AM.AN bằng

A. $9\sqrt{2}$.

B. 14.

C. $6\sqrt{2}$.

Đáp án chính xác

D. 8.

Trả lời:

Đáp án đúng là: C

Gọi M(a; 0; 0) Î Ox, N(0, b, 0) Î Oy.
Ta có d(I; (Oxy)) = 2 = R nên (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(1; 4; 0) và MN cũng đi qua A.
Lại có $\overrightarrow{AM}$= (a – 1; −4; 0), $\overrightarrow{AN}$= (−1; b – 4; 0) và 3 điểm A, M, N thẳng hàng nên ta được:
$\frac{a-1}{-1}=\frac{-4}{b-4}$Û (a – 1)(b – 4) = 4      (1).
Tứ diện OIMN có IA ^ (OMN) và ∆OMN vuông tại O
Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN thì J Î (IMN).
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IMN.
Ta có S_∆IMN = $\frac{\mathrm{I}M.IN.MN}{4r}$(với r = $\frac{7}{2}$ bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IMN).
Û $\frac{1}{2}IA.MN$= $\frac{\mathrm{I}M.IN.MN}{4.\frac{7}{2}}$
Û IM.IN = 7IA
Û IM.IN = 14
Û [(a – 1)² + 20].[(b – 4)² + 5] = 196                  (2).
Đặt $\left\{\begin{array}{c}m=a-1\\ n=b-4\end{array}\right.$.
Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{\begin{array}{c}mn=4\\ \left(m^2+20\right)\left(n^2+5\right)=196\end{array}\right.$ 
Û $\left\{\begin{array}{c}n=\frac{4}{m}\left(3\right)\\ \left(m^2+20\right)\left(\frac{16}{m^2}+5\right)=196\left(4\right)\end{array}\right.$
Từ (4) ta được: (m² + 20)(16 + 5m²) = 196m²
Û 5m⁴ – 80m² + 320 = 0 Û m² = 8
Û $\left[\begin{array}{c}m=2\sqrt{2}\\ m=-2\sqrt{2}\end{array}\right.$Þ $\left[\begin{array}{c}n=\sqrt{2}\\ n=-\sqrt{2}\end{array}\right.$.
Suy ra $\left[\begin{array}{c}a=1+2\sqrt{2},b=4+\sqrt{2}\\ a=1-2\sqrt{2},b=4-\sqrt{2}\end{array}\right.$.
Vậy AM.AN = $6\sqrt{2}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức w = 1 – 4i?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức w = 1 – 4i?

   A. z₁ = 5 – 4i.

   Đáp án chính xác

   B. z₄ = 1 + 4i.

   C. z₃ = 1 – 5i.

   D. z₂ = 3 + 4i.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Số phức w = 1 – 4i có phần ảo bằng −4.
   Trong các số phức đã cho, số phức z₁ = 5 – 4i cũng có phần ảo bằng −4.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có toạ độ là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
   
   Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có toạ độ là

   A. (1; 3).

   B. (3; 1).

   C. (−1; −1).

   Đáp án chính xác

   D. (1; −1).

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: C
   Từ đồ thị hàm số bậc ba y = f(x), ta có điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có toạ độ là (−1;−1).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Phần ảo của số phức z = (2 – i)(1 + i) bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phần ảo của số phức z = (2 – i)(1 + i) bằng

   A. −3.

   B. 1.

   Đáp án chính xác

   C. 3.

   D. −1.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   Ta có: z = (2 – i)(1 + i) = 2 + 2i – i – i² = 3 + i.
   Vậy phần ảo của số phức z bằng 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Nếu ∫−12f(x)dx=2 và ∫25f(x)dx=−5 thì ∫−15f(x)dx bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nếu $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2$ và $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=-5$ thì $\underset{-1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

   A. 7.

   B. −3.

   Đáp án chính xác

   C. −7.

   D. 4.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   Ta có: $\underset{-1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$= $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ + $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$= 2 + (−5) = −3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 5, đáy ABC có diện tích bằng 6. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 5, đáy ABC có diện tích bằng 6. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

   A. 30.

   B. 10.

   Đáp án chính xác

   C. 15.

   D. 11.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   Thể tích khối chóp S.ABC là V_S.ABC = $\frac{1}{3}\mathrm{.5.6}$ = 10.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====