Trong không gian Oxyz, cho điểm E2;1;3 , mặt phẳng P:2x+2y−z−3=0 và mặt cầu S:x−32+y−22+z−52=36 . Gọi Δ là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng P  và cắt S  tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của Δ là

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $E\left(2;1;3\right)$ , mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y-z-3=0$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng $\left(P\right)$  và cắt $\left(S\right)$  tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $\Delta$ là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2+9t\\ y=1+9t\\ z=3+8t\end{array}\right.$.

B. $\left\{\begin{array}{l}x=2-5t\\ y=1+3t\\ z=3\end{array}\right.$.

C. $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}\right.$.

Đáp án chính xác

D. $\left\{\begin{array}{l}x=2+4t\\ y=1+3t\\ z=3-3t\end{array}\right.$.

Trả lời:

Đáp án C
$\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$, có tâm $I\left(3;2;5\right)$ và $R=6$
Ta có: $\overrightarrow{EI}=\left(1;1;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{\left|EI\right|}=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}<6=R$  .
Do đó điểm E nằm trong mặt cầu $\left(S\right)$ .
Vì $E\in \left(P\right)$  và $\left\{\begin{array}{l}E\in \Delta \\ \Delta \subset \left(P\right)\end{array}\right.$  nên giao điểm của $\left(\Delta \right)$  và $\left(S\right)$  nằm trên đường tròn giao tuyến $\left(C\right)$  tâm K của mặt phẳng $\left(P\right)$  và mặt cầu $\left(S\right)$ , trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $\left(P\right)$ . Gọi $\Delta \cap \left(S\right)=\left\{A;B\right\}$ . Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left(K,\Delta \right)$  lớn nhất.
Gọi F là hình chiếu của K trên $\left(\Delta \right)$  khi đó $d\left(K;\Delta \right)=KF\le KE$ . Dấu $“=“$  xảy ra khi và chỉ khi $F\equiv E$ .
Vì $\left\{\begin{array}{l}IK\perp \left(P\right)\\ KE\perp \Delta \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}IK\perp \Delta \\ KE\perp \Delta \end{array}\right.\Rightarrow IE\perp \Delta$ .
Mặt khác:$\left[{\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)},\overrightarrow{EI}\right]=\left(5;-5;0\right)$ , cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$ .
Vì $\left\{\begin{array}{l}\Delta \subset \left(P\right)\\ \Delta \perp IE\end{array}\right.$  nên $\Delta$  có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$ . Vậy $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}\right.$  .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
   

   A. $f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.

   B. $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng (0;6).

   Đáp án chính xác

   C. $f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $(3;+\infty )$.

   D. $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $(-1;3)$.

   Trả lời:

   Đáp án B
   Trên khoảng $\left(0;6\right)$ , hàm số đồng biến trên $\left(0;3\right)$và nghịch biến trên $\left(3;6\right)$ nên đáp án B sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm tập xác định D của hàm số y=ex2+2x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tập xác định D của hàm số $y=e^{x^2+2x}$

   A. $D=ℝ$

   Đáp án chính xác

   B. $D=\left[-2;0\right]$

   C. $D=\left(-\infty -2\right]\cup \left[0;+\infty \right)$

   D. $D=\varnothing$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Hàm số $y=e^{x^2+2x}$ xác định khi $x^2+2x$ , mà $x^2+2x$ là đa thức bậc hai nên nó xác định trên toàn trục số thực $ℝ$ . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D=ℝ$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho cấp số cộng un  có u1=−5  và d=3 . Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$  có $u_1=-5$  và $d=3$ . Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

   A. Thứ 15.

   B. Thứ 20.

   C. Thứ 35.

   D. Thứ 36.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-5\\ d=3\end{array}\right.\Rightarrow 100=u_n=u_1+\left(n-1\right)d=3n-8\iff n=36$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Kết quả của giới hạn limx→−∞2x−3×2+1−x  là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Kết quả của giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-3}{\sqrt{x^2+1}-x}$  là

   A. $-2$.

   B. $+\infty$.

   C. 3.

   D. $-1$.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-3}{\sqrt{x^2+1}-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{3}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-1}=-1$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=logax,y=logbx với a, b là hai số thực dương, khác 1  có đồ thị lần lượt là C1,C2  như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y={\log }_{a}x,y={\log }_{b}x$ với a, b là hai số thực dương, khác 1  có đồ thị lần lượt là $\left(C_1\right),\left(C_2\right)$  như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
   

   A. $0<b<a<1$.

   Đáp án chính xác

   B. $a>1$.

   C. $0<b<1<a$.

   D. $0<b<1$.

   Trả lời:

   Đáp án A
   Từ đồ thị $\left(C_1\right)$  ta có hàm số $y={\log }_{a}x$  đồng biến trên tập xác định do đó $a>1$  nên A sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====