Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng bằng (SAB) bằng 30o. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM  . Khi điểm di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp S.ABH  đạt giá trị lớn nhất bằng

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng bằng (SAB) bằng ${30}^o$. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM  . Khi điểm di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp S.ABH  đạt giá trị lớn nhất bằng

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}.$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}.$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}.$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D

Góc giữa SC và (SBD là $\widehat{CSB}\Rightarrow \widehat{CSB}={30}^o$
Ta có $\tan \widehat{CSB}=\frac{BC}{SB}\Rightarrow SB=a\sqrt{3};SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=a\sqrt{2}$
Đặt CM=x (với $0\le x\le a)\Rightarrow DM=a-x$
Ta có $\left\{\begin{array}{l}BM\perp SH\\ BM\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BM\perp \left(SAH\right)\Rightarrow BM\perp AH$
Ta có: $S_{\Delta BMC}=\frac{1}{2}BC.CM=\frac{1}{2}ax;$

$\begin{array}{l}{S}_{\Delta ADM}=\frac{1}{2}AD.DM=\frac{1}{2}a\left(a-x\right)\\ S_{\Delta ABM}=S_{ABCD}-S_{\Delta AMC}-S_{\Delta ADM}=\frac{a^2}{2}\end{array}$
Ta có: $S_{\Delta ABM}=\frac{1}{2}AH.BM\Rightarrow AH=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+x^2}},BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}$
Thể tích của khối chóp S. ABH   là:  $V=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABH}=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}BH.AH$
$=\frac{1}{6}a\sqrt{2}.\frac{a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}.\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^4.\frac{x}{a^2+x^2}$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{a^2+x^2}$  với $x\in [0;a]$
Ta có $f‘\left(x\right)=\frac{a^2-x^2}{{\left(a^2+x^2\right)}^2};f‘\left(x\right)=0\Rightarrow x=a$
Trên đoạn $\left[0;a\right]$  ta có $f‘\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in [0;a]$
Vậy giá trị lớn nhất của V tại $x=a\Rightarrow V_{\max }=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3.$
Ngoài ra, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm Vmax, thật vậy ta có: $V=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^4.\frac{x}{a^2+x^2}\le \frac{\sqrt{2}}{6}{a}^4.\frac{1}{2a}=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{12}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

   A.  $8a^3.$       

   B.  $2\sqrt{3}{a}^3.$    

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{2}.$

   D. $\frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có $V=Sh=\frac{\sqrt{3}{\left(2a\right)}^2}{4}.2a=2\sqrt{3}{a}^3.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=ax4+bx3+cx+d    a,b,c,d∈ℝ;a≠0  có đồ thị như hình vẽ bên dưới Các điểm cực tiểu của hàm số là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^3+cx+d\left(a,b,c,d\in ℝ;a\ne 0\right)$  có đồ thị như hình vẽ bên dưới
   

   Các điểm cực tiểu của hàm số là

   A.   $x_{CT}=0.$

   B. $x_{CT}=-2$  và  $x_{CT}=1.$    

   Đáp án chính xác

   C. $x_{CT}=-1$   và   $x_{CT}=2.$

   D.  $x_{CT}=-1$ và  $x_{CT}=\frac{49}{32}.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Dựa vào đồ thị ta có điểm cực tiểu của hàm số là: $x_{CT}=-2$  và $x_{CT}=1.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a→=2;−3;3,  b→=0;2;−1,   c→=3;−1;5.   Tìm tọa độ của véctơ  u→=2a→+3b→−2c→
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;-3;3\right),\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right),\overrightarrow{c}=\left(3;-1;5\right).$   Tìm tọa độ của véctơ  $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$

   A.  $\left(10;-2;13\right).$

   B.  $\left(-2;2;-7\right).$

   Đáp án chính xác

   C.  $\left(-2;-2;7\right).$

   D.  $\left(-2;2;7\right).$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có: $\left\{\begin{array}{l}2\overrightarrow{a}=\left(4;-6;6\right)\\ 3\overrightarrow{b}=\left(0;6;-3\right)\\ -2\overrightarrow{c}=\left(-6;2;-10\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}=\left(-2;2;-7\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=x2−6x+5  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\sqrt{x^2-6x+5}$  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

   A. Hàm số đồng biến trên khoảng   $\left(5;+\infty \right).$

   Đáp án chính xác

   B. Hàm số đồng biến trên khoảng   $\left(3;+\infty \right).$

   C. Hàm số đồng biến trên khoảng  $\left(-\infty ;1\right).$

   D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  $\left(-\infty ;3\right).$

   Trả lời:

   Đáp án A
   TXĐ: $D=\left(-\infty ;1\right]\cup \left[5;+\infty \right)$
   Ta có $y‘=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+5}}>\mathrm{0,}\forall x\in \left(5;+\infty \right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho a=log315,   thì  P=log2515 bằng ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $a={\log }_3\mathrm{15,}$   thì  $P={\log }_{25}15$ bằng ?

   A.  $P=\frac{a}{2\left(a-1\right)}.$

   Đáp án chính xác

   B.  $P=\frac{a}{2\left(a+1\right)}.$

   C.  $P=\frac{a}{2(1-a)}.$

   D. $P=\frac{2a}{a-1}.$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Ta có $P={\log }_{25}15={\log }_{5^2}\left(5.3\right)=\frac{1}{2}({\log }_{5}5+{\log }_{5}3)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_{5}3=\frac{1}{2}+\frac{1}{2{\log }_{3}5}$

   Mà $a={\log }_{3}15={\log }_3\left(5.3\right)={\log }_{3}5+1\Rightarrow {\log }_{3}5=a-1$
   Vậy $P={\log }_{25}15=\frac{1}{2}+\frac{1}{2(a-1)}=\frac{a}{2\left(a-1\right)}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====