Tìm số hạng chứa x4 trong khai triển \({\left( {{x^2} – \frac{1}{x}} \right)^n}\) biết \(A_n^2 – C_n^2 = 10\)

Câu hỏi:

Tìm số hạng chứa x⁴ trong khai triển \({\left( {{x^2} – \frac{1}{x}} \right)^n}\) biết \(A_n^2 – C_n^2 = 10\)

A. – 20;

B. 10;

Đáp án chính xác

C. – 10;

D. 20.

Trả lời:

Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A_n^2 – C_n^2 = 10\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n – 2} \right)!}} – \frac{{n!}}{{2!\left( {n – 2} \right)!}} = 10\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)(n – 2)…1}}{{(n – 2)…1}} – \frac{{n(n – 1)(n – 2)…1}}{{2.(n – 2)…1}} = 10\)
\( \Leftrightarrow \) n(n – 1) – \(\frac{1}{2}\) n(n – 1) = 10
\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{2}\)n(n – 1) = 10 \( \Leftrightarrow \) n² – n – 20 = 0\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = – 4\,\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn
Nhị thức \({\left( {{x^2} – \frac{1}{x}} \right)^n}\)
Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n – k} .b^k (k ≤ n)
Thay a = x², b = \( – \frac{1}{x}\) vào trong công thức ta có
\(C_5^k\)(x²)^{5 – k} .\({\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}\) = ( –1)^k\(C_5^k\)(x)^{10 – 3k}
Số hạng cần tìm chứa x⁴  nên ta có 10 – 3k = 4
Vậy k = 2 thoả mãn bài toán
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: ( –1)²\(C_5^2\) = 10

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong khai triển nhị thức (a + 2)2n + 1 (n \( \in \) ℕ). Có tất cả 6 số hạng. Vậy n bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong khai triển nhị thức (a + 2)^{2n + 1} (n \( \in \) ℕ). Có tất cả 6 số hạng. Vậy n bằng

   A. 17;

   B. 11;

   C. 10;

   D. 5.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   Ta có trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 số hạng
   Trong khai triển (a + 2)^{2n + 1} (n \( \in \) ℕ) có tất cả 6 số hạng nên ta có 2n + 1 = 5
   Vậy n = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (2a + b)4 bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (2a + b)⁴ bằng

   A. 4;

   Đáp án chính xác

   B. 5;

   C. 3;

   D. 6.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Ta có tổng số mũ của a, b trong mỗi hạng tử khi khai triển (a + b)ⁿ luôn bằng n
   Vậy tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + b)⁴ bằng 4

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Biểu thức \(C_5^2\)(5x)3(- 6y2)2 là một số hạng trong khai triển nhị thức nào dưới đây
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu thức \(C_5^2\)(5x)³(- 6y²)² là một số hạng trong khai triển nhị thức nào dưới đây

   A. (5x – 6y)²;

   B. (5x – 6y²)³;

   C. (5x – 6y²)⁴;

   D. (5x – 6y²)⁵.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   Vì trong khai tiển (a + b)ⁿ thì trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b luôn bằng n Do đó, thay a = 5x, b = – 6y² thì tổng số mũ của a và b bằng 5. Đáp án D đúng

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Số hạng tử trong khai triển (x – 2y)4 bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số hạng tử trong khai triển (x – 2y)⁴ bằng

   A. 8;

   B. 6; 

   C. 5;

   Đáp án chính xác

   D. 7.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: C
   Ta có trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 hạng tử
   Vậy trong khai triển (2x + y)⁴ có 5 hạng tử

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Hệ số của x3 trong khai triển của (3 – 2x)5 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hệ số của x³ trong khai triển của (3 – 2x)⁵ là

   A. 4608;

   B. 720;

   C. – 720

   Đáp án chính xác

   D. – 4608.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: C
   Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n – k} .b^k (k ≤ n)
   Thay a = 3, b = –2x vào trong công thức ta có \(C_5^k\)3^{5 – k} .(– 2x)^k = (– 2)^k \(C_5^k\)3^{5 – k} .(x)^k
   Vì tìm hệ số của x³ nên ta có x^k = x³ \( \Rightarrow \) k = 3
   Hệ số của x⁷ trong khai triển là (– 2)³\(C_5^3\).3² = – 720.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====