Lý thuyết Toán 8 Chương 4: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều
A. Lý thuyết
1. Hình hộp chữ nhật
Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình không gian có 6 mặt đều là những hình chữ nhật.
+ Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.
+ Hai mặt đối diện nhau được xem là mặt đáy của hình hộp chữ nhật, các mặt còn lại được gọi là mặt bên
+ Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là những hình vuông.
a) Thể tích hình hộp chữ nhậ
Ta có V = a.b.h
b) Thể thích hình lập phương
Ta có: V = a3.
2. Mặt phẳng và đường thẳng
+ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.
+ Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một và chỉ một mặt phẳng.
+ Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.
3. Hai đường thẳng song song trong không gian
+ Hai đường thẳng a, b gọi là song song với nhau nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu a // b.
+ Hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt trong không gian có thể:
– Cắt nhau – Song song – Chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng)
4. Đường thẳng song song với mặt phẳng. Hai mặt phẳng song song
a) Đường thẳng song song với mặt phẳng
– Một đường thẳng a gọi là song song với một mặt phẳng ( P ) nếu đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng ( P ) và song song với một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng.
Kí hiệu a // ( P ).
– Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì chúng không có điểm chung.
b) Hai mặt phẳng song song
– Nếu mặt phẳng ( Q ) chứa hai đường thẳng cắt nhau, cùng song song với mặt phẳng ( P ) thì mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( P ). Kí hiệu ( Q )//( P ).
– Hai mặt phẳng song song với nhau thì không có điểm chung.
– Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm chung đó (đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng).
5. Đường thẳng vuông góc với đường thẳng. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
– Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng ( P ) nếu đường thẳng dvuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( P ). Kí hiệu d ⊥ ( P ).
– Nếu một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong ( P ) và đi qua điểm A.
b) Hai mặt phẳng vuông góc
– Mặt phẳng ( P ) gọi là vuông góc với mặt phẳng ( Q ) nếu mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( Q ). Kí hiệu ( Q ) ⊥ ( P ).
6. Hình lăng trụ đứng
– Hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
– Các cạnh bên song song, bằng nhau và vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài cạnh bên được gọi chiều cao của hình lăng trụ đứng.
– Các mặt bên là những hình chữ nhật và vuông góc với hai mặt phẳng đáy.
– Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình lăng trụ đứng.
– Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
7. Diện tích – Thể tích của hình lăng trụ đứng
a) Công thức diện tích xung quanh
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao:
Sxq = 2p.h (p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao)
b) Diện tích toàn phần
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.
Stp = Sxq + 2S (S: điện tích đáy)
c) Thể tích
Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao:
V = S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao)
8. Hình chóp
– Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh.
– Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.
9. Hình chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.
+ Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.
+ Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.
10. Hình chóp cụt đều
Hình chóp cụt đều là phần hình chóp đều nằm giữa mặt phẳng đáy của hình chóp và mặt phẳng song song với đáy và cắt hình chóp.
+ Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.
11. Diện tích – Thể tích hình chóp đều
a) Diện tích xung quanh của hình chop đều
Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:
Sxq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)
b) Diện tích toàn phần của hình chóp
Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:
Stp = Sxq + S (S: diện tích đáy)
c) Công thức thể tích của hình chóp đều
Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:
V = 1/3S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao)
B. Trắc nghiệm & Tự luận
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chọn phát biểu đúng?
A. CD ⊥ ( A’B’C’D’ )
B. DC ⊥ ( AA’D’A )
C. A’D’ ⊥ ( BCC’B’ )
D. CC’ ⊥ ( AA’B’B )
Ta có:
Chọn đáp án B.
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2cm, AD = 3cm, AA’ = 4cm. Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ?
A. 12( cm3 ) B. 24( cm3 )
C. 18( cm3 ) D. 15( cm3 )
Ta có:
V = AB.AD.AA’ = 2.3.4 = 24( cm3 )
Chọn đáp án B.
Bài 3: Cho hình lập phương có các cạnh có độ dài là 5cm. Thể tích của hình lập phương đó là?
A. 100( cm3 ) B. 115( cm3 )
C. 125/3( cm3 ) D. 125( cm3 )
Thể tích hình lập phương cần tìm là:
V = a3 = 53 = 125( cm3 )
Chọn đáp án D.
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có diện tích đáy SABCD = 24cm2 và có thể tích V = 84( cm3 ). Chiều cao của hình hộp chữ nhật có độ dài là?
A. h = 4( cm ) B. h = 3,5( cm )
C. h = 5( cm ) D. h = 2( cm )
Ta có: Thể tích cua hình hộp chữ nhật là: V = h.SABCD
Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật là h = 3,5( cm )
Chọn đáp án B.
Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
A. ( ABCD ) ⊥ ( A’B’C’D’ )
B. ( ADD’A’ ) ⊥ ( BCC’B’ )
C. ( ABB’A’ ) ⊥ ( BCC’B’ )
D. ( ABB’A’ ) ⊥ ( CDD’C’ )
Ta có: 
Mà AB ∈ ( ABB’A’ ) ⇒ ( ABB’A’ ) ⊥ ( BCC’B’ )
Chọn đáp án C.
Bài 6: Số mặt, số đỉnh, số cạnh của hình lập phương là?
A. 4 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.
B. 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.
C. 6 mặt, 12 đỉnh, 8 cạnh.
D. 8 mặt, 6 đỉnh, 12 cạnh.
Hình lập phương cũng được gọi là hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.
Chọn đáp án B.
Bài 7: Hình hộp chữ nhật có số cặp mặt song song là?
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
Hình hộp chữ nhật có 3 cặp mặt song song.
Chọn đáp án B.
Bài 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chọn phát biểu đúng?
A. ( ABCD ) // ( BCC’B’ )
B. ( BCC’B’ ) // ( ADD’A’ )
C. ( CDD’C’ ) // ( ADD’A’ )
D. ( ABCD ) // ( ADD’A’ )
Ta có:
Chọn đáp án B.
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chọn phát biểu đúng?
A. AB//CD B. B’C’//CC’
C. CD//AD D. BC//BB’
Ta có: ABCD là mặt đáy hình chữ nhật
⇒ AB//CD
Chọn đáp án A.
Bài 10: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây sai?
A. Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.
B. Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một và chỉ một mặt phẳng
C. Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.
D. Hai mặt phẳng song song với nhau thì có ít nhất một điểm chung.
Tính chất của hai mặt phẳng song song là: Hai mặt phẳng song song với nhau thì không có điểm chung.
Vậy phát biểu D là phát biểu sai
Chọn đáp án D.
Bài 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 4cm. Hình lăng trụ có chiều cao h = 3cm. Thể tích của hình lăng trụ đó là?
A. V = 9( cm3 ) B. V = 18( cm3 )
C. V = 24( cm3 ) D. V = 36( cm3 )
Ta có: SABC = 1/2AB.AC = 1/2.3.4 = 6( cm2 )
Khi đó: V = h.SABC = 3.6 = 18( cm3 )
Chọn đáp án B.
Bài 12: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 4cm, BC = 5cm, chiều cao h = 2,5cm. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là?
A. Sxq = 22,5( cm2 ) B. Sxq = 45( cm2 )
C. Sxq = 30( cm2 ) D. Sxq = 36( cm2 )
Ta có chu vi của đáy là: p = 2( AB + BC ) = 2( 4 + 5 ) = 18( cm )
Khi đó: Sxq = p.h = 18.2,5 = 45( cm2 )
Chọn đáp án B.
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 4cm, BC = 5cm, chiều cao h = 2,5cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là?
A. Stp = 62,5( cm2 ) B. Sxq = 85( cm2 )
C. Stp = 70( cm2 ) D. Sxq = 76( cm2 )
Theo câu 2, ta có: Sxq = 45( cm2 )
Khi đó ta có: Stp = Sxq + 2S = 45 + 2.4.5 = 85( cm2 )
Chọn đáp án B.
Bài 14: Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
A. Hình lăng trụ tam giác có 4 mặt, 6 đỉnh.
B. Hình lăng trụ tam giác có 5 mặt, 6 đỉnh.
C. Hình lăng trụ tam giác có 4 mặt, 5 đỉnh
D. Hình lăng trụ tam giác có 4 mặt, 4 đỉnh.
Hình lăng trụ tam giác gồm 5 mặt và 6 đỉnh.
+ 5 mặt:
( A’B’C’ ), ( BCC’B’ ), ( ABC ), ( A’C’CA ),( ABB’A’ )
+ 6 đỉnh là: A,B,C,A’,B’,C’
Chọn đáp án B.
Bài 15: Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?
A. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác bất kì, các mặt bên là những tam giác bất kì có chung đỉnh.
B. Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.
C. Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.
D. Trong hình chóp đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.
Áp dụng định nghĩa của hình chóp: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.
Phát biểu A sai.
Chọn đáp án A.
Bài 16: Mặt bên của hình chóp cụt đều là hình gì?
A. Hinh chữ nhật
B. Hình vuông.
C. Hình thang cân
D. Tứ giác bất kì
Áp dụng định nghĩa của hình thang cân ta có: Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.
Chọn đáp án C.
Bài 17: Hình chóp tứ giác đều có mặt bên là hình gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác vuông
D. Tam giác vuông cân
Hình chóp tứ giác đều có mặt bên là tam giác cân.
Chọn đáp án A.
Bài 18: Hình chóp lục giác đều có bao nhiêu mặt?
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
Hình chóp lục giác đều gồm có 6 mặt bên và 1 mặt đáy.
Chọn đáp án D.
Bài 19: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình gì?
A. Hình bình hành B. Hình thang cân
C. Hình chữ nhật D. Hình vuông
Hình lăng trụ đứng là hình có 2 mặt đáy là các đa giác, các mặt bên là hình chữ nhật
Chọn đáp án C.
Bài 20: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng?
A. Song song với nhau
B. Bằng nhau
C. Vuông góc với hai đáy
D. Có tất cả 3 tính chất trên.
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng thì luôn song song với nhau, vuông góc với 2 mặt đáy và bằng nhau.
Chọn đáp án D.
Bài 21: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang vuông ( Aˆ = Dˆ = 900 ). Có bao nhiêu cạnh song song với mặt phẳng ( BCC’B’ ) ?
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
Vì
nên các đường thẳng AA’,DD’,AD,A’D’ song song với mặt phẳng ( BCC’B’ ).
Chọn đáp án B.
Bài 22: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang vuông ( Aˆ = Dˆ = 900 ). Có bao nhiêu cạnh vuông góc với mặt phẳng ( BCC’B’ ) ?
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
Vì
Tương tự: A’B’ ⊥ ( BCC’B’ ) ⇒ AB,A’B’ ⊥ ( BCC’B’ )
Chọn đáp án A.
Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3cm, chiều cao của hình chóp là h = 2cm. Thể tích của hình chóp đã cho là?
A. 6( cm3 ) B. 18( cm3 )
C. 12( cm3 ) D. 9( cm3 )
Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có:
V = 1/3h.SABCD = 1/3.2.32 = 6( cm3 )
Chọn đáp án A.
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm,BC = 5cm. Biết thể tích của hình chóp S.ABCD bằng 36( cm3 ). Tính độ dài đường cao của hình chóp?
A. 6( cm ) B. 8( cm )
C. 5,4( cm ) D. 7,2( cm )
Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có: V = 1/3.h.SABCD
Chọn đáp án C.
Bài 25: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4cm, các mặt bên là tam giác cân có độ dài cạnh bên là 6cm. Diện tích xung quanh của hình chóp đã cho là?
A. 32( cm2 ) B. 32√2 ( cm2 )
C. 16√2 ( cm2 ) D. 16( cm2 )
Chu vi của đáy ABCD là: 2( 4 + 4 ) = 16( cm )
Gọi d là độ dài trung đoạn của hình chóp
Ta có: d = √(62 – 22) = 4√2 ( cm )
Áp dụng công thức diên tích xung quanh của hình chóp: Sxq = p.d
⇒ Sxq = 8.4√2 = 32√2 ( cm2 )
Chọn đáp án B.
Bài 26: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = 5cm, AC = 12cm,BC = 13cm. Có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABB’A’ ) ?
A. 1 B. 2
C. 4 D. 3
Ta có: AB2 + AC2 = BC2
⇒ Δ ABC vuông tại A.
Do đó:
Vì AC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau là AB và AA’
Nên AC ⊥ ( ABB’A’ )
Vậy có 3 mặt phẳng vuông góc với ( ABB’A’ ) là:
( ABC ), ( A’B’C’ ),( ACC’A’ )
Chọn đáp án D.
Bài 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BACˆ = 900 ,AB = 6cm, AC = 8cm, AA’ = 15cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó?
A. 258cm2 B. 360cm2
C. 456cm2 D. 408cm2
Ta có tam giác ABC vuông tại A
BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = 10cm
Chu vi của đáy là: 24cm
Khi đó: Sxq = 24.15 = 360( cm2 )
+ Stp = Sxq + 2Sd = 360 + 2.1/2.6.8 = 408( cm2 )
Chọn đáp án D.
Bài 28: Cho hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, chiều cao bằng 6cm. Một kích thức của đáy bằng 10cm. tính kích thước còn lại?
A. 15cm B. 20cm
C. 25cm D. 10cm
Chu vi của đáy bằng: 2( x + 10 )
Diện tích xung quanh: Sxq = 2( x + 10 ).6 = 12( x + 10 )
Diện tích đáy: 10x
Theo giả thiết ta có: 12( x + 10 ) = 20x ⇔ x = 15
Chọn đáp án A.
Bài 29: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng 2cm, BAB’ˆ = 450 . Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ?
A. 15cm2 B. 6cm2
C. 12cm2 D. 16cm2
Tam giác vuông ABB’ có BAB’ˆ = 450 nên là tam giác vuông cân tại B nên AB = BB’ = 2cm.
Vì ABC là tam giác đều nên chu vi đáy bằng 6( cm )
Khi đó diện tích xung quanh hình lăng trụ là Sxq = 6.2 = 12( cm2 )
Chọn đáp án C.
Bài 30: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng 2cm, BAB’ˆ = 450 . Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ?
A. 15cm2 B. ( 12 + 2√3 )cm2
C. 12cm2 D. 16cm2
Tam giác vuông ABB’ có BAB’ˆ = 450 nên là tam giác vuông cân tại B nên AB = BB’ = 2cm.
Vì ABC là tam giác đều nên chu vi đáy bằng 6( cm )
Khi đó diện tích xung quanh hình lăng trụ là Sxq = 6.2 = 12( cm2 )
Diện tích toàn phần là Stp = Sxq + 2Sd = 12 + 2.1/2.2.2.sin 600 = 12 + 2√3 ( cm2 )
Chọn đáp án B.
II. Bài tập tự luận
1. Nhận biết – Thông hiểu
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
a) Nếu O là trung điểm của đoạn CB1 thì O có là điểm thuộc đoạn BC1 ?
b) K là điểm thuộc cạnh CD, liệu K có thể là điểm thuộc cạnh BB1 hay không?
Hướng dẫn:
a) Câu trả lời trên là có. Thật vậy, vì mặt bên BCC1B1 là hình chữ nhật có O là trung điểm của đường chéo CB1 nên O cũng là trung điểm của đường chéo BC1 (theo tính chất đường chéo của hình chữ nhật). Vậy thuộc đoạn BC1.
b) K không thuộc cạnh BB1 vì K ∉ mp( BB1C1C ) mà BB1 thuộc mặt phẳng đó
Vậy K không thuộc cạnh BB1.
Bài 2: Các kích thước của hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 là DC = 5 cm; CB = 4cm; BB1 = 3 cm. Tính các độ dài DC1, CB1 ?
Hướng dẫn:
DC1 ∈ mp( DCC1D1 ) là hình chữ nhật nên Δ DCC1 vuông tại C.
Áp dụng định lý Py – ta – go vào Δ DCC1 vuông tại C ta được: DC12 = CC12 + CD2
Hay DC12 = 32 + 52 ⇔ DC12 = ( √34 )2 ⇔ DC1 = √34 ( cm )
CB1 ∈ ( BCC1B1 ) là hình chữ nhật nên Δ BCB1 vuông tại B.
Áp dụng định lí Py – ta – go vào Δ BCB1 vuông tại B ta được: CB12 = CB2 + BB12
Hay CB12 = 32 + 42 = 52 ⇔ CB1 = 5( cm )
Vậy DC1 = √34 ( cm ); CB1 = 5( cm )
Bài 3: Xét sự đúng sai trong các phát biểu sau?
a) Hình chóp đều có đáy là hình thoi và chân đường cao trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy.
b) Hình chóp đều có đáy là hình chữ nhật và chân đường cao trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy.
Hướng dẫn:
a) Sai, vì hình thoi không phải là tứ giác đều (các góc không bằng nhau).
b) Sai, vì hình chữ nhật không phải là tứ giác đều (các cạnh không bằng nhau).
Bài 4: Quan sát các hình dưới đây và điền cụm từ và số thích hợp và ô trống, biết các hình dưới đây là hình chóp đều
| Đáy | Tam giác đều | |||
| Mặt bên | Tam giác cân | |||
| Số cạnh đáy | 5 | |||
| Số cạnh | 10 | |||
| Số mặt | 5 |
Hướng dẫn:
| Đáy | Tam giác đều | Hình vuông | Ngũ giác đều | Lục giác đều |
| Mặt bên | Tam giác đều | Tam giác cân | Tam giác cân | Tam giác cân |
| Số cạnh đáy | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Số cạnh | 6 | 8 | 10 | 12 |
| Số mặt | 4 | 5 | 6 | 7 |
Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O1 là giao điểm của A1C1 và B1D1. Chứng minh rằng:
a) BDD1B1 là hình chữ nhật.
b) OO1 ⊥ ( ABCD )
Hướng dẫn:
a) Từ giả thiết ABCD.A1B1C1D1 là hình hộp chữ nhật nên các mặt bên ( BB1A1A ),( BB1C1C ) là hình chữ nhật, do đó ta có:
⇒ BB1 ⊥ mp( ABCD )
Mặt khác đường chéo BD ⊂ mp( ABCD ) và đi qua B nên:
BB1 ⊥ BD ⇒ B1BDˆ = 900
Chứng minh tương tự như trên, ta cũng được: BB1D1ˆ = BDD1ˆ = 900
Điều đó chứng tỏ tứ giác BDD1B1 có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tương tự như câu a, ta có tứ giác ACC1A1 là hình chữ nhật
Áp dụng tính chất đường chéo và các hình vuông ABCD, A1B1C1D1 ta được O là trung điểm của AC và BD và O1 là trung điểm của A1C1 và B1D1
⇒ OO1 là đường trung bình của các hình chữ nhật BDD1B1 và ACC1A1
Do đó: OO1//BB1//DD1//AA1//CC1
Suy ra
Bài 6: Các kích thức của hình hộp chữ nhật như trên hình vẽ. Tính độ dài của đoạn AC1 ?
Hướng dẫn:
Vì ABCD.A1B1C1D1 là hình hộp chữ nên
CC1 ⊥ mp( ABCD ) ⇒ CC1 ⊥ AC hay tam giác ACC1 vuông tại C, đáy ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ACD vuông tại D.
Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:
Thay đẳng thức ( 1 ) vào ( 2 ) ta được:
AC12 = CD2 + AD2 + CC12 ⇒ AC1 = √(CD2 + AD2 + CC12)
Hay AC1 = √(302 + 402 + 1202) = √(1302) = 130( cm )
Bài 7: Tính chiều cao của hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH, biết rằng đáy ABCD là hình thoi có các đường chéo AC = 10cm,BD = 24cm và diện tích toàn phân bằng 1280cm2
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức: Stp = Sxq + 2Sd
Hay Sxq = Stp – 2Sd = 1280 – 2.1/2.1024
= 1280 – 240 = 1040( cm2 )
Vì đáy ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại O (tính chất về đường chéo của hình thoi)
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác BOC vuông tại O ta được:
BC2 = BO2 + OC2 ⇒ BC2 = 122 + 52 = 132 ⇔ BC = 13( cm )
Chu vi đáy là 2p = 4.13 = 52( cm )
Áp dụng công thức Sxq = 2p.h ⇒ h = Sxq/(2p) = 1040/52 = 20( cm )
Bài 8: Một trại hè có dạng hình lăng trụ đứng đáy tam giác, thể tích hình không gian bên trong là 2,16( cm3 ). Biết chiều dài lều AD = 2,4( cm ), chiều rộng của lều là 1,2cm. Tính chiều cao AH của lều?
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức thể tích của hình lăng trụ đứng ta có: V = S.h
Ta có:
Do đó: V = S.h = 0,6AH.2,4 = 1,44AH
Theo giả thiết ta có: 1,44AH = 2,16 ⇔ AH = 1,5( cm )
2. Vận dung – Vận dụng cao
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật có diện tích xung quang 120cm2, chiều cao bằng 6cm. Tìm các kích thước của đáy để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất?
Hướng dẫn:
Gọi a và b là các kích thước của đáy
Thể tích của hình hộp chữ nhật là V = 6ab
Để V lớn nhất ⇔ ab lớn nhất
Ta có: Sxq = 120 ⇒ 2( a + b ).6 = 120 ⇔ a + b = 10
+ ab = a( 10 – a ) = – a2 + 10a = – ( a – 5 )2 + 25 ≤ 25
Khi đó ta có: ⇒ V = 6ab ≤ 6.25 = 150
Thể tích lớn nhất bằng 150cm3 khi và chỉ khi a = b = 5cm.
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi và các đường chéo là 16cm và 30 cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là 1840cm2. Tính chiều cao của hình lăng trụ
Hướng dẫn:
Độ dài cạnh của hình thoi là: a = √(82 + 152) = 17( cm )
Gọi h là độ dài đường cao của hình lăng trụ
Chu vi của hình thoi là 68( cm )
Diện tích xung quanh của hình thoi là: Sxq = 68.h
Diện tích toàn phần là Stp = Sxq + 2Sd = 68h + 1/2.2.16.30 = 68h + 480
Theo giả thiết ta có: Stp = 1840 ⇒ 68h + 480 = 1840 ⇔ h = 20( cm )
Bài 3: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a.
Hướng dẫn:
Xét hình chóp S.ABC có AB = AC = BC = a và SH = 2a.
Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều ABC nên AM ⊥ BC và HM = 1/3AM.
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABM vuông tại M ta được:
AB2 = BM2 + AM2 ⇒ a2 = ( a/2 )2 + AM2
Do đó HM = (a√3 )/6.
Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác vuông SHM vuông tại H, ta có:
SM2 = HM2 + SH2
Áp dụng công thức: Stp = Sxq + Sd
Ta có:
