Lý thuyết Toán 8 Chương 4 (Kết nối tri thức 2023): Định lí Thalès hay, chi tiết

Lý thuyết Toán lớp 8 Chương 4: Định lí Thalès

A. Lý thuyết Chương 4: Định lí Thalès

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

– Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

– Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ thức:

$\frac{AB}{CD}=\frac{A‘B‘}{C‘D‘}hay\frac{AB}{A‘B‘}=\frac{CD}{C‘D‘}$.

2. Định lí Thalès trong tam giác

2.1. Định lí Thalès

Định lí Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

2.2. Định lí Thalès đảo

Định lí Thalès đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

3. Định nghĩa đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Ví dụ: Chỉ ra các đường trung bình trong tam giác sau với D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB.

Hướng dẫn giải

Các đường trung bình của ∆ABC là DE, DF, EF.

4. Tính chất đường trung bình của tam giác

4.1. Tính chất đường trung bình của tam giác

Định lí: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

4.2. Chứng minh định lí

Gọi M là trung điểm của BC.

Tam giác ABC có $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$ , suy ra DE // BC (định lí Thalès đảo).

Tương tự ta chứng minh được EM // AB.

Tứ giác DEMB có DE //BM và EM // DB nên tứ giác DEMB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành), suy ra DE = BM = $\frac{1}{2}BC$ .

Vậy DE // BC; DE = $\frac{1}{2}BC$ .

Chú ý: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

5. Tính chất đường phân giác của tam giác

5.1. Tính chất đường phân giác của tam giác

Định lí: (Tính chất đường phân giác của tam giác) Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

5.2. Chứng minh định lí

Vẽ đường thẳng qua B, song song với AD, cắt đường thẳng AC tại E.

Theo giả thiết, AD là phân giác của góc A nên $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ .

Ta có: EB // AD nên $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}$ (hai góc so le trong);

$\widehat{A_2}=\hat{E}$(hai góc đồng vị).

Do đó:  nên tam giác AEB cân tại A.

Suy ra: AE = AB (1).

Mặt khác, áp dụng định lí Thalès vào tam giác CEB, ta có:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}$ (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ .

Chú ý: Trong tam giác ABC, nếu D là điểm thuộc đoạn BC và thỏa mãn $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$  thì AD là đường phân giác của góc A.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm độ dài x cho hình vẽ sau biết MN // BC.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB = AM + MB = 2 + 3 = 5.

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác ABC có MN // BC

Ta có: $\frac{AM}{AB}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{AN}{AC}$ ⇒ $\frac{2}{5}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\mathrm{1,5}}{x}$⇒ x = $\frac{\mathrm{5.1,5}}{2}$  = 3,75.

Vậy x = 3,75.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm. Dựng đường thẳng MN vuông góc AB. Tính BN.

Hướng dẫn giải

Ta có: AM + MB = AB, suy ra MB = AB – AM = 6 – 2 = 4 (cm).

Ta thấy: MN vuông góc với AB (gt) và AC vuông góc với AB (do tam giác ABC vuông tại A)

Suy ra: MN // AC.

Áp dụng định lí Thalès trong ∆ABC, ta có:

$\frac{BM}{AB}=\frac{BN}{BC}$⇒ BN = $\frac{BM\cdot BC}{AB}=\frac{4\cdot 10}{6}=\frac{20}{3}$ (cm)

Vậy BN = $\frac{20}{3}$ cm.

Bài 3: Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình vẽ dưới đây và giải thích vì sao chúng song song với nhau?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{EC}{AE}=\frac{\mathrm{2,5}}{2}=\frac{5}{4}$ 

$\frac{DC}{BD}=\frac{3}{\mathrm{2,4}}=\frac{5}{4}$

Suy ra $\frac{EC}{AE}=\frac{DC}{BD}$ .

Áp dụng định lí Thalès đảo trong tam giác ABC.

Do đó, DE // AB.

Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho $\frac{AO}{OD}=\frac{3}{2}$ . Gọi I là giao điểm của CO và AB. Tính tỉ số $\frac{AI}{IB}$ .

Hướng dẫn giải

Kẻ thêm DH // CI (H thuộc AB) thì DH // IO.

Áp dụng định lí Thalès vào ∆ADH có DH // IO, ta có:

Ta có: BD + DC = BC, suy ra DC = BC – BD = 2BD – BD = BD nên BC = 2DC.

Áp dụng định lí Thalès vào ∆BIC có DH // IC, ta có:

$\frac{BI}{IH}=\frac{BC}{CD}=2$⇒ BI = 2IH = 2 . 2t = 4t

Vậy $\frac{AI}{IB}=\frac{3t}{4t}=\frac{3}{4}$ .

Bài 5: Tính độ dài đoạn AE, biết DE // BC và AC = 8 cm.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có: D là trung điểm AB và DE // BC

⇒ E là trung điểm của AC.

Suy ra: AE = $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 8=4cm$ .

Bài 6: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = $\frac{1}{2}$  DC. Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM.

Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm của DC.

Trong ΔBDC, ta có:

M là trung điểm của BC (giả thiết).

E là trung điểm của CD (ta gọi).

Nên ME là đường trung bình của ∆BCD.

⇒ ME // BD (tính chất đường trung bình tam giác).

Suy ra: DI // ME.

Lại có: AD = $\frac{1}{2}$  DC (giả thiết).

DE = $\frac{1}{2}$ DC (vì E là trung điểm của DC).

Suy ra AD = DE nên D là trung điểm của AE.

Xét tam giác AME có D là trung điểm của AE và DI // ME (cmt).

Suy ra I là trung điểm của AM (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vậy AI = IM.

Bài 7: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC, F là trung điểm của EC. Tính tỉ số $\frac{AE}{EC}$ .

Hướng dẫn giải

Xét ∆BEC có:

M là trung điểm của BC;

F là trung điểm của EC.

Do đó, MF là đường trung bình của ∆BEC.

Suy ra MF // BE.

Xét ∆AMF có:

D là trung điểm của AM;

DE // MF (do MF // BE).

Do đó, DE là đường trung bình của ∆AMF.

Suy ra E là trung điểm của AF nên AE = EF.

Mà EF = FC = $\frac{1}{2}$ EC (do F là trung điểm của EC)

Do vậy, AE = EF = FC = $\frac{1}{2}$ EC.

Suy ra $\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$ .

Bài 8: Cho hình vẽ dưới đây.

a) Tính $\frac{x}{y}$ .

b) Tính x khi y = 5.

Hướng dẫn giải

a) Từ hình vẽ ta có AD là đường phân giác của góc A trong tam giác ABC.

Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác, ta có

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}hay\frac{\mathrm{3,5}}{\mathrm{7,5}}=\frac{x}{y}$.

Suy ra: $\frac{x}{y}=\frac{7}{15}$ .

b) Khi y = 5 thì x = $5\cdot \frac{7}{15}=\frac{7}{3}$ .

Bài 9: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm, đường phân giác trong AD và đường phân giác ngoài AE. Tính độ dài các đoạn thẳng DB, EB.

Hướng dẫn giải

Vì AD là đường phân giác trong của tam giác ABC, nên ta có

 $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$(1)

AE là đường phân giác ngoài của tam giác ABC, ta có:

 $\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ .

Từ $\frac{DB}{DC}=\frac{2}{3}$ , suy ra $\frac{DB}{BC}=\frac{2}{5}$  ⇒ DB = $\frac{2}{5}$ BC =  $\frac{2}{5}$. 10 = 4 (cm).

Từ $\frac{EB}{EC}=\frac{2}{3}$ , suy ra $\frac{EB}{BC}=2$  ⇒ EB = 2BC = 2 . 10 = 20 (cm).

Vậy DB = 4 cm và EB = 20 cm.

Lý thuyết Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 16: Đường trung bình của tam giác

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác

Xem chi tiết

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Đa thức

Lý thuyết Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Lý thuyết Chương 3: Tứ giác

Lý thuyết Chương 4: Định lí Thalès

Lý thuyết Chương 5: Dữ liệu và biểu đồ