Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 7

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 7

Giải toán lớp 10 trang 19 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 19 Toán lớp 10: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) $f\left(x\right)=6x^2+41x+44$

b) $g\left(x\right)=-3x^2+x-1$

c) $h\left(x\right)=9x^2+12x+4$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2: Xác định nghiệm của $f\left(x\right)$nếu có

Bước 3: Các định dấu của hệ số a

Bước 4: Xác định dấu của $f\left(x\right)$

Lời giải:

a) $f\left(x\right)=6x^2+41x+44$ có $\mathrm{\Delta }=625>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-\frac{11}{2},x_2=-\frac{4}{3}$ và có $a=6>0$

Ta có bảng xét dấu $f\left(x\right)$như sau:

 

Vậy $f\left(x\right)$ dương trong khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-\frac{11}{2}\right)\cup \left(-\frac{4}{3};+\mathrm{\infty }\right)$ và âm trong khoảng $\left(-\frac{11}{2};-\frac{4}{3}\right)$

b) $g\left(x\right)=-3x^2+x-1$ có $\mathrm{\Delta }=-11<0$ và có $a=-3<0$

Ta có bảng xét dấu như sau

 

Vậy $g\left(x\right)$luôn âm với mọi $x\in \mathbb{R}$

c) $h\left(x\right)=9x^2+12x+4$ có $\mathrm{\Delta }=0$, có nghiệm kép là $x_1=x_2=-\frac{2}{3}$ và có $a=9>0$

Ta có bảng xét dấu của $h\left(x\right)$ như sau:

 

Vậy $h\left(x\right)$ luôn dương khi $x\ne -\frac{2}{3}$

Bài 2 trang 19 Toán lớp 10: Giải các bất phương trình sau:

a) $7x^2-19x-6\ge 0$

b) $-6x^2+11x>10$

c) $3x^2-4x+7>x^2+2x+1$

d) $x^2-10x+25\le 0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2: Xác định nghiệm của $f\left(x\right)$nếu có

Bước 3: Các định dấu của hệ số a

Bước 4: Xác định dấu của $f\left(x\right)$

Lời giải:

a) Xét tam thức $f\left(x\right)=7x^2-19x-6$ có $\mathrm{\Delta }=529>0$, có hai nghiệm phân biệt $x_1=-\frac{2}{7},x_2=3$ và có $a=7>0$

Ta có bảng xét dấu như sau

 

Vậy nghiệm của bất phương trình là đoạn $\left[-\frac{2}{7};3\right]$

b) $-6x^2+11x>10\iff -6x^2+11x-10>0$

Xét tam thức $f\left(x\right)=-6x^2+11x-10$ có $\mathrm{\Delta }=-119<0$và có $a=-6<0$

Ta có bảng xét dấu như sau

 

Vậy bất phương trình vô nghiệm

c) $3x^2-4x+7>x^2+2x+1\iff 2x^2-6x+6>0$

Xét tam thức $f\left(x\right)=2x^2-6x+6$ có $\mathrm{\Delta }=-12<0$và có $a=2>0$

Ta có bảng xét dấu như sau

 

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm

d) Xét tam thức $f\left(x\right)=x^2-10x+25$ có $\mathrm{\Delta }=0$, có nghiệm kép $x_1=x_2=5$ và có $a=1>0$

Ta có bảng xét dấu như sau

 

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x=5$

Bài 3 trang 19 Toán lớp 10: Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho, hãy giải các bất phương trình sau:

 

Phương pháp giải:

Quan sát vào đồ thị ta thấy

+) Tại giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của $f\left(x\right)=0$

+) Khoảng của x mà phần độ thị nằm trên trục hoành là nghiệm của $f\left(x\right)>0$

+) Khoảng của x mà phần độ thị nằm dưới trục hoành là nghiệm của $f\left(x\right)<0$

Lời giải:

a) Quan sát vào độ thị ta thấy đoạn mà đồ thị nằm dưới truch hoành là $\left[-2;\frac{5}{2}\right]$

Vậy nghiệm của bất phương trình $x^2-0,5x-5\le 0$ là đoạn  $\left[-2;\frac{5}{2}\right]$

b) Quan sát vào đồ thị ta thấy đồ thị luôn nằm dưới trục hoành

Vậy nghiệm của bất phương trình $-2x^2+x-1>0$ vô nghiệm

Bài 4 trang 19 Toán lớp 10: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-9x^2-8x+3}$

b) $\sqrt{x^2+x+8}-\sqrt{x^2+4x+1}=0$

c) $\sqrt{4x^2+x-1}=x+1$

d) $\sqrt{2x^2-10x-29}=\sqrt{x-8}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Bình phương hai vế để làm mất dấu căn, chuyển vế và rút gọn

Bước 2: Giải phương trình bậc hai vừa nhân được

Bước 3: Thử lại nghiệm vừa tìm được và kết luận

Lời giải:

a) $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-9x^2-8x+3}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow x^2-7x=-9x^2-8x+3\\ \Rightarrow 10x^2+x-3=0\end{array}$

$\Rightarrow x=-\frac{3}{5}$ và $x=\frac{1}{2}$

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-9x^2-8x+3}$ thì ta thấy chỉ có nghiệm $x=-\frac{3}{5}$ thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-\frac{3}{5}$

b) $\sqrt{x^2+x+8}-\sqrt{x^2+4x+1}=0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \sqrt{x^2+x+8}=\sqrt{x^2+4x+1}\\ \Rightarrow x^2+x+8=x^2+4x+1\\ \Rightarrow 3x=7\\ \Rightarrow x=\frac{7}{3}\end{array}$

Thay $x=\frac{7}{3}$ vào phương trình $\sqrt{x^2+x+8}-\sqrt{x^2+4x+1}=0$ ta thấy thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{7}{3}$

c) $\sqrt{4x^2+x-1}=x+1$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 4x^2+x-1={\left(x+1\right)}^2\\ \Rightarrow 4x^2+x-1=x^2+2x+1\\ \Rightarrow 3x^2-x-2=0\end{array}$

$\Rightarrow x=-\frac{2}{3}$ và $x=1$

Thay hai nghiệm trên vào phương trình $\sqrt{4x^2+x-1}=x+1$ ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình trên là $x=-\frac{2}{3}$ và $x=1$

d) $\sqrt{2x^2-10x-29}=\sqrt{x-8}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2x^2-10x-29=x-8\\ \Rightarrow 2x^2-11x-21=0\end{array}$

$\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$ và $x=7$

Thay hai nghiệm $x=-\frac{3}{2}$ và $x=7$ vào phương trình  $\sqrt{2x^2-10x-29}=\sqrt{x-8}$ ta thấy cả hai đều không thảo mãn phương trình

Vậy phương trình $\sqrt{2x^2-10x-29}=\sqrt{x-8}$ vô nghiệm

Bài 5 trang 19 Toán lớp 10: Một tam giác vuông có một cạnh góc vuông ngắn hơn cạnh huyền 8 cm. Tính độ dài của cạnh huyền, biết chu vi của tam giác bằng 30 cm.

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặc cạnh huyền của tam giác là x ($x>8$), xác định các cạnh còn lại qua mối quan hệ với cạnh huyền

Bước 2: Lập phương trình từ giả thiết chu vi biết chu vi được tính bằng công thức $C=a+b+c$

Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.

Lời giải:

Đặt cạnh huyền của tam giác là x ($x>8$)

Theo giải thiết ta tính được cạnh góc vuông là $x-8$

Áp dụng định lý Pitago ta tính được cạnh góc vuông còn lại là $\sqrt{x^2-{\left(x-8\right)}^2}=\sqrt{16x-64}$

Ta có chu vi của tam giác là $x+\left(x-8\right)+\sqrt{16x-64}=30$

$\begin{array}{l}\iff \sqrt{16x-64}=38-2x\\ \Rightarrow 16x-64={\left(38-2x\right)}^2\\ \Rightarrow 16x-64=1444-152x+4x^2\\ \Rightarrow 4x^2-168x+1508=0\end{array}$

$\Rightarrow x=13$ và $x=29$

Thay $x=13$ và $x=29$ vào phương trình $\sqrt{16x-64}=38-2x$ ta thấy chỉ có $x=13$ thảo mãn phương trình

Vậy cạnh huyền có độ dài là 13 cm.

Bài 6 trang 19 Toán lớp 10: Một quả bóng được bắn thẳng lên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 30 m/s. Khoảng cách quả bóng so với mặt đất t giây được cho bởi hàm số:

$h\left(t\right)=-4,9t^2+30t+2$

với $h\left(t\right)$ tính bằng đơn vị mét. Hỏi quả bóng nằm ở độ cao trên 40 m trong thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ giả thiết lập bất phương trình.

Bước 2: Giải bất phương trình vừa tìm được.

Lời giải:

Theo giả thiết, khoảng thời gian bóng nằm ở độ cao 40 m là nghiệm của bất phương trình sau:

$\begin{array}{l}h\left(t\right)>40\iff -4,9t^2+30t+2>40\\ \iff -4,9t^2+30t-38>0\end{array}$

Xét tam thức $f\left(t\right)=-4,9t^2+30t-38$ có $\mathrm{\Delta }=155,2>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1\simeq 1,8;x_2\simeq 4,3$ và có $a=-4,9<0$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Từ đó cho thấy khoảng từ 1,8 s đến 4,3 s lag khoảng thời gian bóng cao so với mặt đất lớn hơn 40 m

Vậy quả bóng nằm ở độ cao trên 40 m trong thời gian 2,5 giây.

Bài 7 trang 19 Toán lớp 10: Một chú cá heo nhảy lên khỏi mặt nước sau t giây được cho bởi hàm số $h\left(t\right)=-4,9t^2+9,6t$

Tính khoảng thời gian cá heo ở trên không.

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ giả thiết lập bất phương trình

Bước 2: Giải bất phương trình vừa tìm được

Lời giải:

Khoảng thời gian cá heo ở trên không chính khoảng cá heo cao hơn mặt nước

Ta có bất phương trình $h\left(t\right)>0\iff -4,9t^2+9,6t>0$

Xét tam thức $f\left(t\right)=-4,9t^2+9,6t$ có $\mathrm{\Delta }=92.16>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1=0,x_2=\frac{96}{49}$ và có $a=-4,9<0$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy khoảng thời gian cá heo ở trên không là khoảng $\left(0;\frac{96}{49}\right)$ giây

Bài 8 trang 19 Toán lớp 10: Lợi nhuận một tháng $p\left(x\right)$ của một quán ăn phụ thuộc vào giá trung bình x của các món ăn theo công thức $p\left(x\right)=-30x^2+2100x-15000$, với đơn vị tính bằng nghìn đồng. Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng nào?

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ giả thiết lập bất phương trình

Bước 2: Giải bất phương trình vừa tìm được

Lời giải:

15 triệu đồng = 15000 nghìn đồng

Từ giả thiết bài toán ta có bất phương trình $p\left(x\right)\ge 15000\iff -30x^2+2100x-15000\ge 15000$

$\Rightarrow -30x^2+2100x-30000\ge 0$

Xét tam thức $f\left(x\right)=-30x^2+2100x-30000$ có $\mathrm{\Delta }=810000>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1=20,x_2=50$ và $a=-30<0$

Ta có bảng xét dấu như sau

Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng 20 đến 50 nghìn đồng.

Bài 9 trang 19 Toán lớp 10: Quỹ đạo của một quả bóng được mô tả bằng hàm số $y=f\left(x\right)=-0,03x^2+0,4x+1,5$với y (tính bằng mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất khi độ dịch chuyển theo phương ngang của bóng là x (tính bằng mét). Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao 2 m, người ta phải đứng cách lưới bao xa? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ giả thiết lập bất phương trình

Bước 2: Giải bất phương trình vừa tìm được

Lời giải:

Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao 2 m thì $y=f\left(x\right)=-0,03x^2+0,4x+1,5>2$

$\Rightarrow f\left(x\right)=-0,03x^2+0,4x-0,5>0$

Xét tam thức $f\left(x\right)=-0,03x^2+0,4x-0,5$ có $\mathrm{\Delta }=0,1>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1\simeq 1,4;x_2\simeq 11,9$ và có $a=-0,03<0$

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy để quả bóng có thể ném được qua lưới cao 2 m, người ta phải đứng cách lưới từ 1,4 cho đến 11,9 mét

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 3: Nhị thức Newton