Giải SGK Toán 10 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hệ thức lượng trong tam giác

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Giải Toán 10 trang 38 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi mở đầu trang 38 Toán lớp 10: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí đứng tới tháp rùa. Em có biết vì sao không?

Phương pháp giải:

Đánh dấu các vị trí, dùng thước thẳng để đo khảng cách và góc.

Lời giải:

Đặt cọc (vật cố định) tại vị trí đứng, kí hiệu là điểm A.

Di chuyển một đoạn d (m) đến vị trí B. Gọi C là vị trí của tháp Rùa.

Tại A và B xác định góc A và góc B của tam giác ABC.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

Mà $AB=d;\hat{C}={180}^o-\alpha -\beta$

$\Rightarrow AC=\sin \beta \frac{d}{\sin ({180}^o-\alpha -\beta )}$

1. Định lý côsin

HĐ1 trang 38 Toán lớp 10: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Phương pháp giải:

a)

Bước 1: Xác định các hướng Đông, tây, nam, bắc. Giả sử tàu xuất phát từ điểm O.

Bước 2: Tính quãng đường đi theo từng hướng sau 1,5 giờ.

Bước 3: Vẽ sơ đồ đường đi

b)

Bước 1: Đo khoảng cách từ điểm xuất phát tới tàu trên sơ đồ

Bước 2: Quy ra khoảng cách thực tế.

c)

Bước 1: Vẽ sơ đồ đường đi.

Bước 2: Tính khoảng cách từ cảng tới tàu dựa vào định lí Pythagore.

Lời giải:

a) Giả sử tàu xuất phát từ điểm O như hình dưới.

 

Trong 1 giờ, tàu di chuyển từ O đến A với quãng đường là: 20.1 =20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ.

Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển từ A đến B với quãng đường là: 20.0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm trên sơ đồ.

b)

Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm

Do đó khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.

c)

Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:

 

Sau 2 giờ đầu, tàu đi từ O đến A, với quãng đường là 20.2 = 40 (km) tương ứng 40 cm trên sơ đồ.

Sau đó, tàu chuyển sang hướng nam, vị trí của tàu là điểm B.

Khi đó ta có thể tính chính xác khoảng cách từ cảng đến tàu, chính là đoạn OB (do tam giác OAB vuông tại A) dựa vào định lí Pythagore: $OB=\sqrt{O{A}^2+A{B}^2}$

HĐ2 trang 38 Toán lớp 10: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b,c và giá trị lượng giác của góc A

a) Tính $a^2$ theo $B{D}^2$ và $C{D}^2$

b) Tính $a^2$ theo b, c và DA.

c) Tính DA theo c và $\cos A$.

d) Chứng minh $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$

 

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore với tam giác BCD.

b) Bước 1: Tính BD theo DA và c (định lí Pythagore cho tam giác BDA)

Bước 2: Thay DC bởi DA + b.

Bước 3: Thế BD và DC ở trên vào biểu thức ở ý a)

c)

Bước 1: Tính $\cos A$ theo $\cos \alpha$.

Bước 2: Tính DA theo c và $\cos \alpha$

Bước 3: Suy ra công thức tính DA theo c và $\cos A$

d)

Lời giải:

a) Xét tam giác BDC vuông tại D, theo định lý Pythagore ta có:

$a^2=B{D}^2+D{C}^2$  (1)

b) Xét tam giác vuông BDA ta có:

$\{\begin{array}{l}B{A}^2=B{D}^2+D{A}^2\Rightarrow B{D}^2=B{A}^2-D{A}^2=c^2-D{A}^2\\ \cos \alpha =\frac{DA}{c}\Rightarrow DA=c.\cos \alpha \end{array}$

Lại có: DC = DA + AC = DA + b Thế vào (1)

$\Rightarrow a^2=\left(c^2-D{A}^2\right)+{\left(DA+b\right)}^2$   (2)

c) Xét tam giác vuông BDA ta có:

$\cos \alpha =\frac{DA}{c}\Rightarrow DA=c.\cos \alpha$

Mà $\cos \alpha =-\cos A$ (do góc $\alpha$ và góc A bù nhau)

$\Rightarrow DA=-c.\cos A$

d) Thế $DA=-c.\cos A$ vào (2) ta được:

$\begin{array}{l}{a}^2=\left[c^2-{\left(-c.\cos A\right)}^2\right]+{\left(-c.\cos A+b\right)}^2\\ \iff a^2=\left(c^2-c^2.{\cos }^{2}A\right)+\left(c^2.{\cos }^{2}A-2bc.\cos A+b^2\right)\\ \iff a^2=c^2-c^2.{\cos }^{2}A+c^2.{\cos }^{2}A-2bc.\cos A+b^2\\ \iff a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\end{array}$

Giải Toán 10 trang 39 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi trang 39 Toán lớp 10: Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí cosin hay không?

Lời giải:

Theo định lí cosin ta có:

$\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\\ b^2=a^2+c^2-2ac.\cos B\\ c^2=b^2+a^2-2ab.\cos C\end{array}$

 

Mà $\cos A=\cos {90}^o=0;\cos B=\frac{c}{a};\cos C=\frac{b}{a}$

 $\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc.0\\ b^2=a^2+c^2-2ac.\frac{c}{a}\\ c^2=b^2+a^2-2ab.\frac{b}{a}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2\\ b^2=a^2+c^2-2a^2\\ c^2=b^2+a^2-2b^2\end{array}\iff a^2=b^2+c^2$

Vậy định lí Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lí cosin.

Khám phá trang 39 Toán lớp 10: Từ định lí cosin hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Từ định lí cosin cho tam giác ABC

$\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\\ b^2=a^2+c^2-2ac.\cos B\\ c^2=b^2+a^2-2ab.\cos C\end{array}$

Rút ra công thức tính cos A, cos B, cos C.

Lời giải:

Định lí cosin: Trong tam giác ABC

$\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc.\cos A(1)\\ b^2=a^2+c^2-2ac.\cos B(2)\\ c^2=b^2+a^2-2ab.\cos C(3)\end{array}$

Ta có $(1)\iff 2bc\cos A=b^2+c^2-a^2\iff \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$

Tương tự từ (2) và (3) ta suy ra $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$; $\cos C=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}$

Luyện tập 1 trang 39 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và $\hat{A}={45}^o$. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cạnh BC (tương ứng là a) theo công thức $a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A$

Bước 2: Tính cos B (theo công thức $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$) từ đó suy ra góc B.

Bước 3: Tính góc C.

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC

$\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc.\cos A(1)\\ b^2=a^2+c^2-2ac.\cos B(2)\end{array}$

(trong đó: AB = c, BC = a và AC = b)

Ta được:  $B{C}^2=a^2=8^2+5^2-\mathrm{2.8.5.}\cos {45}^o=89-40\sqrt{2}$$\Rightarrow BC\approx 5,7$

Từ (2) suy ra $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$;

Mà: a = BC =5,7; b =AC = 8; c =AB =5.

$\Rightarrow \cos B\approx \frac{-217}{1900}\Rightarrow \hat{B}\approx {97}^o\Rightarrow \hat{C}\approx {38}^o$

Vậy tam giác ABC có BC = 5,7, $\hat{B}={97}^o,\hat{C}={38}^o$

Trải nghiệm trang 39 Toán lớp 10: Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí cosin tại đỉnh A đối với tam giác đó.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC như hình dưới:

 

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A$

$\begin{array}{l}\iff B{C}^2=6^2+4,3^2-\mathrm{2.6.4},3.\cos 67,{61}^o\\ \iff B{C}^2\approx 34,835\\ \iff BC\approx 5,9\end{array}$

Như vậy kết quả thu được từ định lí xấp xỉ với kết quả đo được.

Nói các khác định lí cosin tại đỉnh A là đúng.

Vận dụng 1 trang 39 Toán lớp 10: Dùng định lí cosin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ 1b.

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa tàu và cảng Vân Phong: $O{B}^2=O{A}^2+A{B}^2-2.OA.AB.\cos \widehat{OAB}$

Lời giải:

Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, đi theo thướng Đông với vận tốc 20km/h. Sau khi đi 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc.

Giả sử sau 1,5 giờ tàu ở vị trí điểm B.

 

Ta đã có: quãng đường OA = 20 (km) và quãng đường AB =10 (km)

Ngoài ra $\widehat{OAB}={135}^o$ (do tàu đi theo hướng đông nam)

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A ta được:

 $O{B}^2=O{A}^2+A{B}^2-2.OA.AB.\cos \widehat{OAB}$

$\begin{array}{l}\iff O{B}^2={20}^2+{10}^2-\mathrm{2.20.10.}\cos {135}^o\\ \iff O{B}^2\approx 782,84\\ \iff OB\approx 27,98.\end{array}$

Vậy khoảng cách từ tàu tới cảng Vân Phong xấp xỉ 27,98 km.

2. Định lý sin

HĐ3 trang 39 Toán lớp 10: Trong mỗi hình dưới dây, hãy tính R theo a và sinA.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính sin M. Từ đó tính R theo a và sinM.

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa sinA và sinM, suy ra công thức tính R theo sinA.

Lời giải:

 Xét tam giác MBC vuông tại C ta có:

$\sin M=\frac{BC}{BM}=\frac{a}{2R}\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin M}$

Lại có: Hình 3.10 a:  $\hat{A}=\hat{M}$ (cùng chắn cung nhỏ BC )

$\Rightarrow \sin A=\sin M\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}$

Hình 3.10b: $\hat{A}+\hat{M}={180}^o$ (cùng tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O,R))

$\Rightarrow \sin A=\sin M\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}$

Vậy ở cả hai hình ta đều có: $R=\frac{a}{2\sin A}$.

Giải Toán 10 trang 40 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 40 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và $\hat{B}={80}^o$. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính sin$\hat{C}$, bằng cách áp dụng định lí sin tại đỉnh B và C. Từ đó suy ra số đo góc C.

Bước 2: Tính $\hat{A}$ và suy ra a dựa vào định lí sin.

Bước 3: Tính R.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \sin C=\frac{c.\sin B}{b}=\frac{5.\sin {80}^o}{8}\approx 0,6155\\ \iff \hat{C}\approx {38}^o\end{array}$

Lại có: $\hat{A}={180}^o-\hat{B}-\hat{C}={180}^o-{80}^o-{38}^o={62}^o$

Theo định lí sin, ta suy ra $a=\sin A.\frac{b}{\sin B}=\sin {62}^o\frac{8}{\sin {80}^o}\approx 7,17$

Và $2R=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{8}{2\sin {80}^o}\approx 4,062.$

Vậy tam giác ABC có $\hat{A}={62}^o$; $\hat{C}\approx {38}^o$; $a\approx 7,17$ và $R\approx 4,062.$

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Luyện tập 3 trang 40 Toán lớp 10: Giải tam giác ABC, biết b = 32, c =45, $\hat{A}={87}^o$

Phương pháp giải:

Tính độ dài các cạnh và các góc còn lại của tam giác.

Bước 1: Tính a: $a^2=b^2+c^2-2.bc.\cos A$

Bước 2: Tính sinB, suy ra góc B, góc C.

Lời giải:

Ta cần tính cạnh BC, góc B và góc C.

 

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A$

$\begin{array}{l}\iff B{C}^2={32}^2+{45}^2-\mathrm{2.32.45.}\cos {87}^o\\ \iff B{C}^2\approx 2898,27\\ \iff BC\approx 53,8\end{array}$

Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\frac{b.\sin A}{a}=\frac{32.\sin {87}^o}{53,8}\approx 0,594.$

$\Rightarrow \hat{B}\approx 36,{44}^o$ hoặc $\hat{B}\approx 143,{56}^o$(Loại vì $\hat{A}+\hat{B}=230,{56}^o>{180}^o$)

$\Rightarrow \hat{C}={180}^o-\hat{A}-\hat{B}\approx {180}^o-{87}^o-36,{44}^o=56,{56}^o$

Vậy tam giác ABC có $BC\approx 53,8$; $\hat{B}\approx 36,{44}^o$ và $\hat{C}=56,{56}^o$.

Vận dụng 2 trang 40 Toán lớp 10: Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Phương pháp giải:

Bước 1: Cố định vị trí đứng ngắm, xác định góc ngắm .

Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm tới từng đỉnh núi..

Bước 3: Áp dụng định lí cosin để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi.

Lời giải:

Bước 1: Tại khu vực quan sát, đặt một cọc tiêu cố định tại vị trí A. Kí hiệu hai đỉnh núi lần lượt là điểm B và điểm C.

+) Đứng tại A, ngắm điểm B và điểm C để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.

Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm đến từng đỉnh núi, tức là tính AB, AC.

• Tính AB bằng cách:

+) Đứng tại A, ngắm đỉnh núi B để xác định góc ngắm so với mặt đất, kí hiệu là góc $\alpha$.

+) Theo hướng ngắm, đặt tiếp cọc tiêu tại D gần đỉnh núi hơn và đo đoạn AD. Xác định góc ngắm tại điểm D, kí hiệu là góc$\beta$

Hình vẽ:

Dễ dàng tính được góc $\widehat{DBA}={180}^o-\alpha -\beta .$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABD ta được: $\frac{AB}{\sin D}=\frac{DA}{\sin B}\Rightarrow AB=\sin D.\frac{DA}{\sin B}=\sin \left({180}^o-\beta \right).\frac{DA}{\sin \left({180}^o-\alpha -\beta \right)}.$

• Làm tương tự để tính AC.

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi, bằng cách áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh BC.

4. Công thức tính diện tích tam giác

Giải Toán 10 trang 41 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ4 trang 41 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với I là tâm đường trong nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Tính diện tích tam giác ABC theo r,a,b,c.

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích tam giác ABC theo diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Diện tích tam giác IBC: $S_{IBC}=\frac{1}{2}r.a$.

Lời giải:

a) Diện tích tam giác ABC là:$$S=S_{IAB}+S_{IBC}+S_{IAC}$$

b)

Kí hiệu: D,E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, AC.

 

Ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{IAB}=\frac{1}{2}.ID.AB=\frac{1}{2}r.c\\ S_{IBC}=\frac{1}{2}IE.BC=\frac{1}{2}r.a\\ S_{IAC}=\frac{1}{2}IF.AC=\frac{1}{2}r.b\end{array}$

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}r.c+\frac{1}{2}r.a+\frac{1}{2}r.b=\frac{1}{2}r.\left(a+b+c\right)$

Vậy diện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là $S=\frac{1}{2}r.\left(a+b+c\right)$.

HĐ5 trang 41 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a) Biểu thị BD theo AB và sinA.

b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b,c, sin A.

Phương pháp giải:

a) Biểu thị BD dựa vào sin A (hoặc $\sin \left({180}^o-A\right)$) trong tam giác vuông ABD.

b)

+) Tính $S_{ABC}=\frac{1}{2}BD.AC$

+) Thay BD ở ý a) để suy ra công thức tính S theo b,c và sin A.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông ABD vuông tại D ta có:

TH1: góc A nhọn

$\sin A=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB.\sin A$

TH2: góc A tù

$\sin A=\sin ({180}^o-A)=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB.\sin A$

Vậy $BD=AB.\sin A$

b) Ta có diện tích S của tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}BD.AC$

Mà $BD=AB.\sin A=c.\sin A$; BC = a. Thế vào (*) ta được:

$S=\frac{1}{2}c.\sin A.b$ hay $S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$

Vậy diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A là $S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$

Luyện tập 4 trang 41 Toán lớp 10: Tính diện tích tam giác ABC có $b=2,\hat{B}={30}^o,\hat{C}={45}^o$.

Phương pháp giải:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$

Bước 1: Tính c bằng cách áp dụng định lí sin.

Bước 2: Tính góc $\hat{A}$, tính $S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow c=\sin C.\frac{b}{\sin B}=\sin {45}^o.\frac{2}{\sin {30}^o}=2\sqrt{2}$

Lại có: $\hat{A}={180}^o-\hat{B}-\hat{C}={180}^o-{30}^o-{45}^o={105}^o$

Do đó diện tích tích S của tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}.2.2\sqrt{2}.\sin {105}^o=1+\sqrt{3}.$

Vậy diện tích tam giác ABC là $1+\sqrt{3}$.

Thảo luận trang 41 Toán lớp 10: Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?

Phương pháp giải:

Nhắc lại:

+) công thức tính diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$

+) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Bước 1: Tính sin A theo cos A. Lưu ý: $\sin A>0$

Bước 2: Thay sin A vào $S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$ Rút gọn biểu thức rồi kết luận.

Lời giải:

Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Mà ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$

$\Rightarrow \sin A=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Do $0^o<\hat{A}<{180}^o$ nên $\sin A>0$ hay $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{4b^2{c}^2}}\\ =\sqrt{\frac{4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{4b^2{c}^2}}=\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}}{2bc}\end{array}$

Thế vào công thức tính diện tích tam giác ABC ta được:

$S=\frac{1}{2}bc.\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}}{2bc}=\frac{1}{4}.\sqrt{4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}$

Chú ý:

Nếu tiếp tục biến đổi công thức diện tích ta được

$\begin{array}{l}S=\frac{1}{4}.\sqrt{\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)}\\ =\frac{1}{4}.\sqrt{\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]}\\ =\frac{1}{4}.\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}\end{array}$

Đến đây, đặt $p=\frac{a+b+c}{2}$, là nửa chu vi tam giác ABC, ta suy ra:

$\{\begin{array}{l}b+c+a=2p\\ b+c-a=b+c+a-2a=2\left(p-a\right)\\ a-b+c=b+c+a-2b=2\left(p-b\right)\\ a+b-c=b+c+a-2c=2\left(p-c\right)\end{array}$

Giải Toán 10 trang 42 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng 3 trang 42 Toán lớp 10: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế dộ tình khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên hòa bình.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA bằng công thức Herong:

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

Bước 2: Tính diện tích ngũ giác ABCDE, bằng tổng diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA.

Lời giải:

Xét tam giác CDB, ta có: CD = 441, CB = 575 và DB = 538 (đơn vị: m)

Và nửa chu vi là: $\frac{441+575+538}{2}=777(m)$

Do đó: $S_{CDB}=\sqrt{777.\left(777-441\right).\left(777-575\right).\left(777-538\right)}\approx 112267,7\left(m^2\right)$

Xét tam giác DBE, ta có: DE = 217, EB = 476 và DB = 538 (đơn vị: m)

Và nửa chu vi là: $\frac{217+476+538}{2}=615,5(m)$

Do đó: $S_{DBE}=\sqrt{615,5.\left(615,5-217\right).\left(615,5-476\right).\left(615,5-538\right)}\approx 51495,13\left(m^2\right)$

Xét tam giác ABE, ta có: AE = 401, EB = 476 và BA =256 (đơn vị: m)

Và nửa chu vi là: $\frac{401+476+256}{2}=566,5(m)$

Do đó: $S_{ABE}=\sqrt{566,5.\left(566,5-401\right).\left(566,5-476\right).\left(566,5-256\right)}\approx 51327,97\left(m^2\right)$

Vậy diện tích S của ngũ giác ABCDE là: $S=S_{CDB}+S_{DBE}+S_{ABE}\approx 112267,7+51495,13+51327,97=215090,8\left(m^2\right)$

Chú ý

+) Để tính diện tích ngũ giác ABCDE thông qua các tam giác nhỏ, ta cần chọn các tam giác thỏa mãn: “phần trong của chúng không đè lên nhau” và “ghép lại vừa khít tạo thành ngũ giác ABCDE”

+) Ưu tiên tính thông qua các tam giác đã biết đủ các cạnh.

Bài tập

Bài 3.5 trang 42 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c =8. Tính cos A, S,r.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cos A bằng công thức: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Bước 2: Tính S bằng công thức Herong: $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ với $p=\frac{a+b+c}{2}$

Bước 3: Tính r bằng công thức $S=pr$.

Lời giải:

Từ định lí cosin ta suy ra $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+8^2-6^2}{\mathrm{2.5.8}}=\frac{53}{80}$

Tam giác ABC có nửa chu vi là:$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{6+5+8}{2}=9,5.$

Theo công thức Herong ta có: $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{9,5.\left(9,5-6\right).\left(9,5-5\right).\left(9,5-8\right)}\approx 14,98$

Lại có: $S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{14,98}{9,5}=1,577.$

Vậy $\cos A=\frac{53}{80}$; $S\approx 14,98$ và $r=1,577.$

Bài 3.6 trang 42 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $a=10,\hat{A}={45}^o,\hat{B}={70}^o$. Tính R,b,c.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính R và b bằng định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Bước 2: Tính $\hat{C}$ và suy ra c bằng định lí sin.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A};b=\frac{a.\sin B}{\sin A}$

Mà $a=10,\hat{A}={45}^o,\hat{B}={70}^o$

$\Rightarrow R=\frac{10}{2\sin {45}^o}=5\sqrt{2};b=\frac{a.\sin {70}^o}{\sin {45}^o}\approx 13,29$

Mặt khác: $\hat{A}={45}^o,\hat{B}={70}^o\Rightarrow \hat{C}={65}^o$

Từ định lí sin ta suy ra: $c=\frac{a.\sin C}{\sin A}=\frac{10.\sin {65}^o}{\sin {45}^o}\approx 12,82.$

Vậy $R=5\sqrt{2};b\approx 13,29$; $c\approx 12,82.$

Bài 3.7 trang 42 Toán lớp 10: Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết $\hat{A}={15}^o,\hat{B}={130}^o,c=6$.

Phương pháp giải:

Tính a, b, $\hat{C}$ và S

Bước 1: Tính $\hat{C}$ rồi suy ra a, b bằng định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Bước 2: Tính $S=\frac{1}{2}bc.\sin A$.

Lời giải:

Ta có: $\hat{A}={15}^o,\hat{B}={130}^o\Rightarrow \hat{C}={35}^o$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow b=\frac{c.\sin B}{\sin C};a=\frac{c.\sin A}{\sin C}$

Mà $\hat{A}={15}^o,\hat{B}={130}^o,\hat{C}={35}^o,c=6$

$\Rightarrow b=\frac{6.\sin {130}^o}{\sin {35}^o}\approx 8;a=\frac{6.\sin {15}^o}{\sin {35}^o}\approx 2,7$

Diện tích tam giác ABC là $S=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}.8.6.\sin {15}^o\approx 6,212.$

Vậy $a\approx 2,7;b\approx 8$; $\hat{C}={35}^o$; $S\approx 6,212.$

Bài 3.8 trang 42 Toán lớp 10: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng $S{70}^{o}E$ với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

a,

Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ hình mô tả đường đi từ cảng A, đến nơi mà động cơ hỏng (kí hiệu là B) và hòn đảo (kí hiệu là C) nơi tàu neo đậu.

 

Bước 2: Tính góc $\widehat{ABC}$, quãng đường tàu đi được sau 90 phút () và quãng đường tàu trôi tự do ().

Bước 3: Tính khoảng cách từ cảng tới nơi tàu neo đậu (đoạn AC) bằng cách áp dụng định lí cosin tại đỉnh B.

Lời giải:

Ta có sơ đồ đường đi như sau:

  

Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là ví trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.

Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC (hay b).

 Ban đầu tàu di chuyển theo hướng $S{70}^{o}E$ nên $\widehat{BAS}={70}^o$. Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam do đó BC song song với AS.

$\Rightarrow \widehat{ABC}={180}^o-\widehat{BAS}={110}^o$

Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:

70.1,5 = 105 (km) hay c = 105.

Quãng đường tàu trôi tự do là:

8.2 = 16 (km) hay a = 16.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

$b^2=a^2+c^2-2ac.\cos B$

$\begin{array}{l}\Rightarrow b^2={16}^2+{105}^2-\mathrm{2.16.105.}\cos {110}^o\approx 12150,632\\ \Rightarrow b\approx 110,23.\end{array}$

Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 110,23 km.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Phương pháp giải:

Bước 1: Trên sơ đồ: xác định góc nào là hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Bước 2: Tính sin$\widehat{BAC}$ dựa vào định lí sin

Bước 3: Suy ra góc cần tính và kết luận.

Lời giải:

Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là $S{\alpha }^{o}E$ với ${\alpha }^o=\widehat{CAS}$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$\Rightarrow \sin A=\frac{a.\sin B}{b}$

Mà $\hat{B}={110}^o$; $b\approx 110,23$; a = 16.

$\begin{array}{l}\Rightarrow \sin A=\frac{16.\sin {110}^o}{110,23}\approx 0,136\\ \Rightarrow \hat{A}\approx 7,{84}^o(do\hat{A}<{90}^o)\end{array}$

$\Rightarrow {\alpha }^o\approx {70}^o-7,{84}^o=62,{16}^o.$

Vậy hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là $S62,{16}^{o}E$.

Giải Toán 10 trang 43 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.9 trang 43 Toán lớp 10: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là ${50}^o$và ${40}^o$ so với phương nằm ngang (H.3.18).

a)  Tính các góc của tam giác ABC.

b)  Tính chiều cao của tòa nhà.

a)  Tính các góc của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Nhắc lại: Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng ${180}^o$.

Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Bước 2: Tính góc $\widehat{BAC}$, góc $\widehat{ABC}$ => góc $\widehat{BCA}$.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Ta có: $\widehat{HAB}={50}^o$; $\widehat{HAC}={40}^o$

$\Rightarrow \widehat{BAC}={50}^o-{40}^o={10}^o$ (1)

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

$\hat{H}={90}^o;\widehat{BAH}={50}^o.$

$\Rightarrow \widehat{HBA}={180}^o-{90}^o-{50}^o={40}^o$ hay $\widehat{CBA}={40}^o$. (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $\widehat{BCA}={180}^o-{40}^o-{10}^o={130}^o.$

Vậy ba góc của tam giác ABC lần lượt là: $\hat{A}={10}^o;\hat{B}={40}^o;\hat{C}={130}^o$.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AB: $AB=\frac{BC.\sin C}{\sin A}$

Bước 2:  Tính BH => chiều cao của tòa nhà = BH + độ cao của vị trí quan sát.

Lời giải:

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta được:

 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$ $\Rightarrow AB=\frac{BC.\sin C}{\sin A}$

Mà: $BC=5(m);\hat{C}={130}^o;\hat{A}={10}^o$

$\Rightarrow AB=\frac{5.\sin {130}^o}{\sin {10}^o}\approx 22(m)$

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

$\sin \widehat{BAH}=\frac{BH}{AB}$$\Rightarrow BH=AB.\sin \widehat{BAH}$

Mà: $AB\approx 22(m);\widehat{BAH}={50}^o$

$\Rightarrow BH\approx 22.\sin {50}^o\approx 16,85(m)$

Vậy chiều cao của tòa nhà là: $BH-BC+7=16,85-5+7=18,85\left(m\right)$

Bài 3.10 Trang 43 Toán lớp 10: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một các xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Lời giải:

Bước 1:

Đánh dấu vị trí quan sát tại điểm A, chiều rộng của hòn đảo kí hiệu là đoạn BC.

Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

Trên tia đối của tia AH, lấy điểm M, ghi lại khoảng cách AM = a.

 

Bước 2:

Tại A, quan sát để xác định các góc $\widehat{BAC}=\alpha ,\widehat{HAC}=\beta$.

Tiếp tục quan sát tại M, xác định góc $\widehat{HMC}=\gamma$.

Bước 3: Giải tam giác AMC, tính AC.

AM = a, $\widehat{AMC}=\widehat{HMC}=\gamma$ và $\widehat{MAC}={180}^o-\beta$

$\Rightarrow \widehat{ACM}={180}^o-\gamma -\left({180}^o-\beta \right)=\beta -\gamma$

Áp dụng định định lí sin trong tam giác AMC ta có:

$\frac{AC}{\sin AMC}=\frac{AM}{\sin ACM}\Rightarrow AC=\sin \gamma .\frac{a}{\sin \left(\beta -\gamma \right)}$

Bước 4:

 $\widehat{ABC}={90}^o-\widehat{HAB}={90}^o-(\alpha -\beta )$  

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow BC=\sin \alpha .\frac{\sin \gamma .\frac{a}{\sin \left(\beta -\gamma \right)}}{\sin \left({90}^o-(\alpha -\beta )\right)}.$

Bài 3.11 trang 43 Toán lớp 10: Để tránh núi, giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AC: $A{C}^2=B{C}^2+B{A}^2-2.BC.BA.\cos ABC$

Bước 2: Tính góc ACB, suy ra góc ACD.

Bước 3: Tính AD: $A{D}^2=D{C}^2+C{A}^2-2.DC.CA\cos ACD$

Bước 4: Tính số kilomet giảm đi so với đường cũ.

Lời giải:

Bước 1:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}A{C}^2=6^2+8^2-\mathrm{2.6.8.}\cos {105}^o\\ \Rightarrow AC\approx 11,2(km)\end{array}$

Bước 2:

Lại có: Theo định lí sin thì

 $\begin{array}{l}\frac{AB}{\sin ACB}=\frac{AC}{\sin ABC}\Rightarrow \sin ACB=\frac{8.\sin {105}^o}{11,2}\\ \Rightarrow \widehat{ACB}\approx 43,6^o\\ \Rightarrow \widehat{ACD}={135}^o-43,6^o=91,4^o\end{array}$

Bước 3:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ACD ta có:

  $\begin{array}{l}A{D}^2={12}^2+11,2^2-\mathrm{2.12.11},2\cos 91,4^o\\ \Rightarrow AD\approx 16,6(km)\end{array}$

Bước 4:

Độ dài đường mới giảm số kilomet so với đường cũ là: $12+6+8-16,6=9,4(km)$

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ