Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
BÀI 1. LUỸ THỪA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. Khái niệm luỹ thừa
1. Luỹ thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương, a là một số thực tùy ý. Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.
\({a^n} = \underbrace {a \cdot a \ldots a}_{n{\rm{ th\”o {\o}a so\’a }}a};{a^1} = a\)
Trong biểu thức \({a^n}\), a được gọi là cơ số, số nguyên n là số mũ
Với \(a \ne 0,n = 0\) hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của số a là số \({a^n}\) xác định bời: \({a^0} = 1;{a^{ – n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\).
Chú ý:
Kí hiệu \({0^^\circ },{0^n}\) (n nguyên âm) không có nghĩa.
Với \(a \ne 0\) và n nguyên, ta có \({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)
2. Phương trình \({x^n} = b\)
a) Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất
b) Trường hợp n chẵn
– Với b<0, phương trình vô nghiệm
– Với b=0, phương trình có một nghiệm x=0
– Với b>0, phương trình có hai nghiệm đối nhau
3. Căn bậc n
a) Khái niệm: Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho \({b^n} = a\).
Ta thừa nhận hai khẳng định sau:
Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Căn đó được kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\)
Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau là \(\sqrt[n]{a}\) (còn gọi là căn bậc số học của a ) và \( – \sqrt[n]{a}\).
b) Tính chất căn bậc n: Với \(a,b \ge 0,m,n \in {N^*},p,q \in Z\) ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};\\\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}(b > 0)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\sqrt[n]{{{a^p}}} = {(\sqrt[n]{a})^p}(a > 0);\\\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\end{array}\)
Nếu \(\frac{p}{n} = \frac{q}{m}\) thì \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[n]{{{a^q}}}(a > 0);\) Đặc biệt \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[m]{{{a^m}}}\)
\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a,(n\,le)}\\{\left| a \right|,(n\,chan)}\end{array}} \right.\)
4. Lũy thừa với số mũ hữu tì
Cho số thực a dương và r là một số hữu tì. Giả sử \(r = \frac{m}{n}\), trong đó m là một số nguyên, còn n là một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa của a với số mũ r là số \({a^\prime }\) xác định bời \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Cho a, b là những số dương; \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\)
\({a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\):
\(\frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}} = {a^{\alpha – \beta }}\);
\({\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\) ;
\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\)
Nếu a>1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta \)
Nếu a<1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta \)
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Các phép toán biến đổi lũy thừa
1. Phương pháp:
Ta cần nắm các công thức biến đồi lũy thừa sau:
– Với \(a \ne 0;b \ne 0\) và \(\alpha ,\beta \in \mathbb{Z}\) ta có
\(\begin{array}{l}{{\rm{a}}^\alpha } \cdot {{\rm{a}}^\beta } = {{\rm{a}}^{\alpha + \beta }};\\\frac{{{{\rm{a}}^\alpha }}}{{{{\rm{a}}^\beta }}} = {{\rm{a}}^{\alpha – \beta }};\\{\left( {{{\rm{a}}^\alpha }} \right)^\beta } = {{\rm{a}}^{\alpha \cdot \beta }};\\{({\rm{ab}})^\alpha } = {{\rm{a}}^\alpha } \cdot {{\rm{b}}^\alpha };\\{\left( {\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}} \right)^\alpha } = \frac{{{{\rm{a}}^\alpha }}}{{{{\rm{b}}^\alpha }}}\end{array}\)
– Với \(a,b \ge 0,m,n \in {N^*},p,q \in Z\) ta có:
\(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}(b > 0)\)
\(\sqrt[n]{{{a^{\rm{P}}}}} = {(\sqrt[{\rm{n}}]{{\rm{a}}})^{\rm{p}}}({\rm{a}} > 0)\)
\(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\)
Nếu \(\frac{p}{n} = \frac{q}{m}\) thì \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}(a > 0)\);
Đặc biệt \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}\)
Công thức đặc biệt
\(f(x) = \frac{{{a^x}}}{{{a^x} + \sqrt a }}\) thì \(f(x) + f(1 – x) = 1\).
Thật vậy, ta có:
\(\begin{array}{l}f(1 – x) = \frac{{\frac{a}{{{a^x}}}}}{{\frac{a}{{{a^x}}} + \sqrt a }} = \frac{a}{{a + \sqrt a \cdot {a^x}}}\\ \Rightarrow f(1 – x) = \frac{{\sqrt a }}{{{a^x} + \sqrt a }}\end{array}\)
Nên: \(f(x) + f(1 – x) = 1\).
2. Bài tập
Bài tập 1. Viết biểu thức \(\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}}\) về dạng lũy thừa \({2^m}\) ta được \(m = \) ?
A. \( – \frac{{13}}{6}\).
B. \(\frac{{13}}{6}\).
C. \(\frac{5}{6}\)
D. \( – \frac{5}{6}\).
Hướng dẫn giải
Chọn A
\(\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}} = \frac{{\sqrt 2 \cdot \sqrt[6]{{{2^2}}}}}{{{{\left( {{2^4}} \right)}^{\frac{3}{4}}}}} = \frac{{{2^{\frac{5}{6}}}}}{{{2^3}}} = {2^{\frac{{ – 13}}{6}}}\)
Bài tập 2. Cho x>0 ; y>0. Viết biểu thức \({x^{\frac{4}{5}}} \cdot \sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }}\) về dạng \({x^m}\) và biểu thức \({y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }}\) về dạng \({y^n}\). Ta có m-n= ?
A. \( – \frac{{11}}{6}\)
B. \(\frac{{11}}{6}\)
C. \(\frac{8}{5}\)
D. \( – \frac{8}{5}\)
Hướng dẫn giải
Chọn B
\(\begin{array}{l}{x^{\frac{4}{5}}} \cdot \sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }} = {x^{\frac{4}{5}}} \cdot {x^{\frac{5}{6}}} \cdot {x^{\frac{1}{{12}}}} = {x^{\frac{{103}}{{60}}}}\\ \Rightarrow m = \frac{{103}}{{60}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }} = {y^{\frac{4}{5}}}:\left( {{y^{\frac{5}{6}}} \cdot {y^{\frac{1}{{12}}}}} \right) = {y^{ – \frac{7}{{60}}}}\\ \Rightarrow n = – \frac{7}{{60}} \Rightarrow m – n = \frac{{11}}{6}\end{array}\)
Bài tập 3. Biết \({4^x} + {4^{ – x}} = 23\) tính giá trị của biểu thức \(P = {2^x} + {2^{ – x}}\) :
A. 5 .
B. \(\sqrt {27} \).
C. \(\sqrt {23} \).
D. 25 .
Chọn A
Hướng dẫn giải
Do \({2^x} + {2^{ – x}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Nên
\(\begin{array}{l}{2^x} + {2^{ – x}} = \sqrt {{{\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)}^2}} = \sqrt {{2^{2x}} + 2 + {2^{ – 2x}}} \\ = \sqrt {{4^x} + {4^{ – x}} + 2} = \sqrt {23 + 2} = 5\end{array}\).
Bài tập 4. Biểu thức thu gọn cùa biểu thức
\(P = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – 2}}{{a – 1}}} \right) \cdot \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}},(a > 0,a \ne \pm 1)\), có dạng \(P = \frac{m}{{a + n}}\).
Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là:
A. m+3n=-1.
B. m+n=-2.
C. m-n=0.
D. 2m-n=5.
Hướng dẫn giải
Chọn D
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – 2}}{{a – 1}}} \right) \cdot \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}\\ = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{{{(\sqrt a + 1)}^2}}} – \frac{{\sqrt a – 2}}{{(\sqrt a – 1)(\sqrt a + 1)}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}\end{array}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a + 1}} – \frac{{\sqrt a – 2}}{{\sqrt a – 1}}} \right) \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{{a – 1}} \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{2}{{a – 1}}\)
Do đó m=2 ; n=-1.
Bài tập 5. Cho số thực dương x. Biểu thức \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } \)được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ có dạng \({x^{\frac{a}{b}}}\), với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khi đó, biểu thức liên hệ giữa \({a_{{\rm{v\`a }}}}b\) là:
A. a+b=509.
B. a+2b=767.
C. 2a+b=709.
D. 3a-b=510.
Hướng dẫn giải
Chọn B
\(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } \)=\(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{1}{2}}}} } } } } } } \)
=\(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } } } } \)
\(\begin{array}{l} = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} } } } } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } } } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{7}{8}}}} } } } } \end{array}\)
\(\begin{array}{l} = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } } } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{15}}{{16}}}}} } } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} } } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{x^{\frac{{31}}{{32}}}}} } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{63}}{{32}}}}} } } \end{array}\)
\(\begin{array}{l} = \sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{63}}{{64}}}}} } = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{64}}}}} } \\ = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{128}}}}} } = \sqrt {x \cdot {x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \\ = \sqrt {{x^{\frac{{255}}{{128}}}}} = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\end{array}\).
Do đó a=255, b=256.
Bài tập 6. Cho a>0 ; b>0. Viết biểu thức \({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a \) về dạng \({a^m}\) và biểu thức \({b^{\frac{2}{3}}}:\sqrt b \) về dạng \({b^n}\). Ta có m+n= ?
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \( – 1\)
C. 1
D. \(\frac{1}{2}\)
Hướng dẫn giải
Chọn C
\({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{6}}}\)
\( \Rightarrow m = \frac{5}{6};{b^{\frac{2}{3}}}:\sqrt b = {b^{\frac{2}{3}}}:{b^{\frac{1}{2}}} = {b^{\frac{1}{6}}}\)
\( \Rightarrow n = \frac{1}{6}\)\( \Rightarrow m + n = 1\)
Bài tập 7. Viết biểu thức \(\sqrt {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt[4]{8}}}} \) về dạng \({2^x}\) và biểu thức \(\frac{{2\sqrt 8 }}{{\sqrt[3]{4}}}\) về dạng \({2^y}\). Ta có \({x^2} + {y^2} = \) ?
A. \(\frac{{2017}}{{567}}\)
B. \(\frac{{11}}{6}\)
C. \(\frac{{53}}{{24}}\)
D. \(\frac{{2017}}{{576}}\)
Chọn D
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt[4]{8}}}} = \frac{{\sqrt 2 \cdot \sqrt[4]{2}}}{{\sqrt[8]{{{2^3}}}}} = {2^{\frac{3}{8}}}\\ \Rightarrow x = \frac{3}{8};\frac{{2\sqrt 8 }}{{\sqrt[3]{4}}} = \frac{{2 \cdot {2^{\frac{3}{2}}}}}{{{2^{\frac{2}{3}}}}} = {2^{\frac{{11}}{6}}}\end{array}\)
\( \Rightarrow y = \frac{{11}}{6} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{{53}}{{24}}\)
Bài tập 8. Cho \(a = 1 + {2^{ – x}},b = 1 + {2^x}\). Biểu thức biểu diễn b theo a là:
A. \(\frac{{a – 2}}{{a – 1}}\).
B. \(\frac{{a – 1}}{a}\).
C. \(\frac{{a + 2}}{{a – 1}}\).
D. \(\frac{a}{{a – 1}}\).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: \(a = 1 + {2^{ – x}} > 1,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({2^x} = \frac{1}{{a – 1}}\)
Do đó: \(b = 1 + \frac{1}{{a – 1}} = \frac{a}{{a – 1}}\).
Bài tập 9. Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức \(P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} – 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\) có dạng là P=xa+yb. Tính x+y ?
A. x+y=97.
B. x+y=-65.
C. x-y=56.
D. y-x=-97.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} – 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\\ = \left( {{{\left( {2{a^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2} – {{\left( {3{b^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} – 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\\ = {\left( {4{a^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} – {\left( {9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = 16a – 81b.\end{array}\)
Do đó: x=16, y=-81.
Bài tập 10. Cho các số thực dương phân biệt a và b. Biểu thức thu gọn cùa biều thức \(P = \frac{{\sqrt a – \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}} – \frac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\) có dạng \(P = m\sqrt[4]{a} + n\sqrt[4]{b}\). Khi đó biểu thức liên hệ giữa m vàn là:
A. 2m-n=-3.
B. m+n=-2.
C. m-n=0.
D. m+3n=-1.
Hướng dẫn giài
Chọn A
\(\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt a – \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}} – \frac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\ = \frac{{{{(\sqrt[4]{a})}^2} – {{(\sqrt[4]{b})}^2}}}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}} – \frac{{2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{(\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}} – \frac{{2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\ = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} – 2\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b} – \sqrt[4]{a}\end{array}\) .
Do đó m=-1 ; n=1.
Bài tập 11: Cho \(f(x) = \frac{{{{2018}^x}}}{{{{2018}^x} + \sqrt {2018} }}\). Tính giá trị biểu thức sau đây ta được
\(S = f\left( {\frac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2019}}} \right) + \ldots + f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} \right)\)
A. S=2018.
B. S=2019.
C. S=1009.
D. \(S = \sqrt {2018} \).
Xem thêm