Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Vận dụng cao – Phương trình Mũ – Logarit trong đề thi thử THPTQG năm 2021 có lời giải chi tiết
Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên a ( a ³ 2) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn \[{\left( {{a^{\log x}} + 2} \right)^{\log a}} = x – 2\]?
A. 8.
B. 9.
C. 1.
D. Vô số
Lời giải
Điều kiện x > 0. Đặt y = alogx + 2 > 0 thì yloga = x – 2 Û aloga + 2 = x.
Từ đó ta có hệ
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {a^{\log x}} + 2}\\{x = {a^{\log y}} + 2}\end{array}.} \right.\]
Do a ³ 2 nên hàm số f(t) = at + 2 là đồng biến trên \[\mathbb{R}\]. Giả sử x ³ y thì f(y) ³ f(x) sẽ kéo theo y ³ x, tức là phải có x = y . Tương tự nếu x £ y.
Vì thế, ta đưa về xét phương trình x = alogx + 2 với x > 0 hay x – xloga = 2.
Ta phải có x > 2 và x > xloga Û 1 > log a Û a < 10.
Ngược lại, với a <10 thì xét hàm số liên tục g(x) = x – xloga – 2 = xloga (x1-loga – 1) – 2 có
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty \] và g(2) < 0.
Nên g(x) sẽ có nghiệm trên (2; +¥). Do đó, mọi số a Î{2,3,…,9} đều thỏa mãn.
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2021 để phương trình \[{\log _2}\left( {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right) = 2x\] có nghiệm thực?
A. 2018 .
B. 2019 .
C. 2021.
D. 2020 .
Lời giải
Chọn D
Ta có phương trình: \[{\log _2}\left( {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right) = 2x\] (1)
Đặt: \[t = \sqrt {m + {2^x}} (t \ge 0)\] thì phương trình (1) trở thành
\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {m + t} \right) = 2x \Leftrightarrow m + t = {4^x} \Leftrightarrow t = {4^x} – m\]
Mà \[t = \sqrt {m + {2^x}} \] nên suy ra
\[\begin{array}{l}{4^x} – m = \sqrt {{2^x} + m} \Leftrightarrow {4^x} = \sqrt {{2^x} + m} + m\\ \Rightarrow {4^x} + {2^x} = \sqrt {{2^x} + m} + {2^x} + m\end{array}\]
Từ đây ta xét hàm đặc trưng
y = f(t) = t2 + t, ” t ³ 0 có \[f'(t) = 2t + 1 > 0,\forall t \ge 0\]
Þ f(t) đồng biến trên [0;+¥)
Þ f(2x) = \[f\left( {\sqrt {{2^x} + m} } \right) \Leftrightarrow {2^x} = \sqrt {{2^x} + m} \Leftrightarrow m = {4^x} – {2^x}\]
Xét hàm y = g(x) = 4x – 2x
có \[g'(x) = {4^x}.2\ln (2) – {2^x}\ln (2) = 0 \Leftrightarrow x = – 1\]
Ta có bảng biến thiên của hàm g(x) như sau:
Từ đó để phương trình trên có 2 nghiệm thực thì m > g(-1) Þ \[m > – \frac{1}{4}\]
Mà m nguyên dương và nhỏ hơn 2021nên suy ra mÎ[1;2020]
Vậy có tất cả 2020 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 3: Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình \[\ln \left( {\frac{{{5^x} + {3^x}}}{{6x + 2}}} \right) + {5^{x + 1}} + {5.3^x} – 30x – 10 = 0.\]
A. S = 3.
B. S =1.
C. S = 2 .
D. S = -1.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
\[\begin{array}{l}\ln \left( {\frac{{{5^x} + {3^x}}}{{6x + 2}}} \right) + {5^{x + 1}} + {5.3^x} – 30x – 10 = 0\\ \Leftrightarrow \ln \left( {{5^x} + {3^x}} \right) + 5\left( {{5^x} + {3^x}} \right) = \ln (6x + 2) + 5(6x + 2).\end{array}\]
Khi đó phương trình có dạng f(5x + 3x) = f (6x + 2), với f(t) = ln t +5t, t Î (0; +¥)
\[ \Rightarrow f'(t) = \frac{1}{t} + 5 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\]Þ f(t) đồng biến trên (0; +¥) nên từ phương trình
f(5x + 3x) = f(6x + 2) Þ5x + 3x = 6x + 2 Þ g(x) = 5x + 3x – 6x – 2 = 0.
\[g'(x) = {5^x}\ln 5 + {3^x}\ln 3 – 6 \Rightarrow g”(x) = {5^x}{(\ln 5)^2} + {3^x}{(\ln 3)^3} > 0,\forall x\]
Do \[g”(x) > 0,\forall x\]Þ phương trình \[g'(x)\]= 0 có nhiều nhất là một nghiệm, từ đó phương trình g(x) = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm. Ta thấy x1 = 0; x2 = 1 là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0.
Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 0; x2 = 1 Þ S = x1 + x2 = 1.
Câu 4: Gọi S là các cặp số thực (x;y) sao cho ln(x-y)x – 2020x = ln(x- y)y -2020y +e2021 và x Î [-1;1]. Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = {e^{2021x}}(y + 1) – 2021{x^2}\] với (x;y) Î S đạt được tại (x0;y0). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \[{x_0} \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\]
B. \[{x_0} \in \left[ {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right]\]
C. \[{x_0} \in \left[ { – 1;0} \right)\]
D. \[{x_0} \in \left[ {0;\frac{1}{4}} \right)\]
Lời giải
Chọn A
Điều kiện x – y > 0
Ta có ln(x – y)x – 2020x = ln(x – y)y – 2020y + e2021
Û (x – y)ln(x – y) – 2020(x – y) = e2021
Û ln(x – y) – 2020 – \[\frac{{{e^{2021}}}}{{x – y}} = 0(*)\]
Xét hàm f(t) = lnt – 2020 – \[\frac{{{e^{2021}}}}{{x – y}} = 0,\]có \[f'(t) = \frac{1}{t} + \frac{{{e^{2021}}}}{t} > 0,\forall t > 0\]
Do đó f(t) đồng biến trên khoảng (0;+ ¥)
Suy ra (*) Û f(x – y) = 0 = f(e2021) Û x – y = e2021 Ûy=x – e2021
Khi đó P = e2021x (1 + x – e2021) – 2021x2 = g(x)
\[\begin{array}{l}g'(x) = {e^{2021x}}(2022 + 2021x – 2021{e^{2021}}) – 4042x\\g”(x) = {e^{2021x}}(2021.2022 + {2021^2}x – {2021^2}{e^{2021}}) – 4042\\ \le {e^{2021x}}(2021.2022 + {2021^2}x – {2021^2}{e^{2021}}) – 4042 < 0,\forall x \in \left[ { – 1;1} \right]\end{array}\]
Nếu \[g'(x)\] nghịch biến trên đoạn [-1;1]
Mà \[g'( – 1) = {e^{ – 2021}} + 2021 > 0,g'(0) = 2022 – 2021{e^{2021}} < 0\] nên tồn tại x0 Î ( -1;0) sao cho g(x0) = 0 và khi đó \[\mathop {Max}\limits_{\left[ {1;1} \right]} g(x) = g({x_0})\] . Vậy P lớn nhất tại x0 Î ( -1;0).
Câu 5: Cho x,y 0 > thỏa 2xy + log2(xy + x)x = 8. Giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y
A. \[\frac{{14\sqrt 3 – 10}}{7}\]
B. \[2\sqrt 3 – 1\]
C. \[3\sqrt[3]{4} – 1\]
D. \[4\sqrt[3]{3} – 3\]
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2xy + log2(xy +x)x = 8 Û 2xy + log2 [x(y + 1)]x = 8
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2y + {\log _2}(y + 1) = \frac{8}{x} – {\log _2}x\\ \Leftrightarrow {\log _2}(y + 1) + 2(y + 1) = \frac{8}{x} + 2 – {\log _2}x\\ \Leftrightarrow {\log _2}(y + 1) + 2(y + 1) = {\log _2}\left( {\frac{4}{x}} \right) + 2.\left( {\frac{4}{x}} \right)\end{array}\]
Xét hàm y = f(t) = log2t + 2t, ” t > 0 có \[f'(t) = \frac{1}{{t.\ln 2}} + 2 > 0,\forall t > 0\]
Suy ra hàm f(t) luôn đồng biến trên (0; +¥)
Do đó : f(y + 1) = \[f\left( {\frac{4}{x}} \right) \Leftrightarrow y + 1 = \frac{4}{x}\]
Khi đó ta có: P = x2 + y = x2 + \[\frac{4}{x}\] – 1
= x2 + \[\frac{2}{x}\]+ \[\frac{2}{x}\] – 1 \[ \ge 3\sqrt[3]{{{x^2}.\frac{2}{x}.\frac{2}{x}}} – 1 = 3\sqrt[3]{4} – 1\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y là \[3\sqrt[3]{4} – 1\] khi và chỉ khi x2 = \[\frac{2}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{2}\]
Câu 6: ) Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2021 của tham số m để phương trình log6 (2020x + m) = log4 (1010x) có nghiệm là
A. 2021.
B. 2023.
C. 2022 .
D. 2024 .
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện xác định: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x > \frac{{ – m}}{{2020}}}\end{array}} \right.\].
Đặt log6 (2020 + m) = log4(1010x) = t
Þ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2020x + m = {6^t}}\\{1010x = {4^t}}\end{array}} \right. \Rightarrow m = {6^t} – {2.4^t}(1).\]
Xét hàm số f(t) = 6t – 2.4t với \[\forall t \in \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{l}f'(t) = {6^t}.\ln 6 – {2.4^t}.\ln 4\\f'(t) = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = 2\frac{{\ln 4}}{{\ln 6}} \Leftrightarrow t = {\log _{\frac{3}{2}}}({\log _6}16).\end{array}\]
Bảng biến thiên:
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm. Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi \[m \ge f\left( {{{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( {{{\log }_6}16} \right)} \right) \Rightarrow – 2 \le m < 2021.\]
Vậy có 2023 giá trị của m thỏa mãn ycbt.
Câu 7: Cho hai số thực a >1; b >1 , biết phương trình \[{a^x}{b^{{x^2} – 1}} = 1\] có hai nghiệm x1 ,x2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[S = {\left( {\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} – 4({x_1} + {x_2})\]
A. 4.
B. \[\sqrt[3]{4}.\]
C. \[3\sqrt[3]{4}.\]
D. \[3\sqrt[3]{2}.\]
Lời giải
Chọn C.
Ta có: \[{a^x}{b^{{x^2} – 1}} = 1 \Leftrightarrow {\log _b}({a^x}{b^{{x^2} – 1}}) = {\log _b}1 \Leftrightarrow {x^2} + x{\log _b}a – 1 = 0\]
Phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo viet ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = – {{\log }_b}a}\\{{x_1}.{x_2} = – 1}\end{array}} \right.\]
\[S = {\left( {\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} – 4({x_1} + {x_2}) = {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} + \frac{4}{{{{\log }_a}b}}.\]
Đặt logab = t, t > 0.
\[S = f(t) = {t^2} + \frac{4}{t}\] với t > 0.
Ta có:
\[\begin{array}{l}f'(t) = 2t – \frac{4}{{{t^2}}}\\f'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{t^3} – 4}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{2}.\end{array}\]
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t) trên khoảng (0;+¥) bằng \[f\left( {\sqrt[3]{2}} \right) = 3\sqrt[3]{4}.\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng \[3\sqrt[3]{4}\].
Xem thêm