Bài tập về Đồ thị hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit chọn lọc

Tài liệu Bài tập Đồ thị hàm lũy thừa, hàm sô mũ, hàm số logarit gồm các nội dung chính sau:

A. Phương phương giải

– Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn và phương pháp giải Đồ thị hàm lũy thừa, hàm sô mũ, hàm số logarit.

B. Bài tập

– Gồm 12 bài tập tự luyện có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng Bài tập Đồ thị hàm lũy thừa, hàm sô mũ, hàm số logarit.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

+) Hàm số lũy thừa

Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$

· $y=x^{\alpha }>0$         $\left(\forall x\in \left(0;+\infty \right)\right)$

·        Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm  $\left(1;1\right)$

·        Khi $\alpha >0\Rightarrow y‘=\left(x^{\alpha }\right)‘=\alpha .x^{\alpha -1}>0$  $\left(\forall x\in \left(0;+\infty \right)\right)$  hàm số luôn đồng biến

Trong trường hợp này $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\alpha }=+\infty ;\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha }=0$ do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

·        Khi  $\alpha <0\Rightarrow y‘=\left(x^{\alpha }\right)‘=\alpha .x^{\alpha -1}<0$  $\left(\forall x\in \left(0;+\infty \right)\right)$ hàm số luôn nghịch biến

Trong trường hợp này $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\alpha }=0;\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha }=+\infty$ do đó đồ thị hàm số nhận trục $Ox$ là đường tiệm cận ngang và trục $Oy$ là đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số lũy thừa $y=x^a$ trên khoảng   $\left(0;+\infty \right)$

Đồ thị hàm số $y=x^{\alpha }$ luôn đi qua điểm  $I\left(1;1\right).$

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với sỗ mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn:

Hàm số:   $y=x^3$ $\left(x\in ℝ\right).$

Hàm số:   $y=x^{-4}$ $\left(x\ne 0\right).$

Hàm số:   $y=x^{\frac{1}{3}}$ $\left(x>0\right).$

+) Hàm số mũ

Đồ thị hàm số  $y=a^x$

Đồ thị hàm số $y=a^x$ nhận trục $Ox$ là tiệm cận ngang và luôn đi qua các điểm $\left(0;1\right)$ và  $\left(1;a\right)$

Đồ thị hàm số $y=a^x$ nằm phía trên trục hoành  $\left(y=a^x>0\forall x\in ℝ\right)$

 

+) Hàm số Logarit

Tính chất

Với hàm số $y={\log }_{a}x\Rightarrow y‘=\frac{1}{x\ln a}\left(\forall x\in \left(0;+\infty \right)\right).$ Do đó: 

·        Với $a>1$ ta có $\left({\log }_{a}x\right)‘=\frac{1}{x\ln a}>0\Rightarrow$ Hàm số luôn đồng biến trên khoảng  $\left(0;+\infty \right).$

Trong trường hợp này ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=-\infty$ do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.

·        Với $0<a<1$ ta có: $\left({\log }_{a}x\right)‘=\frac{1}{x\ln a}<0\Rightarrow$ Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng

·        Trong trường hợp này ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=+\infty$ do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $\left(1;0\right)$ và $\left(a;1\right)$ và nằm phía bên phải trục tung vì có tập xác định là  $D\left(0;+\infty \right).$

Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.

 

 

 

 

Nhận xét: Đồ thị hàm số $y=a^x$ và $y={\log }_{a}x,\left(0<a\ne 1\right)$ đối xứng nhau qua đường thẳng (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục tọa độ  $Oxy).$

Xem thêm