Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
Bài giảng Toán học 12 Bài 3: Lôgarit
BIẾN ĐỔI LÔGARIT
I. Phương pháp giải
– Lôgarit cơ số a:\[\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\,(0 < a \ne 1\]và \[b > 0)\]
– Lôgarit cơ số 10: \[{\log _{10}}b = \lg b\] hay \[\log b\]
– Lôgarit cơ số e:\[{\log _e}b = \ln b\left( {e \approx 2,7183} \right)\]
– Tính chất: \[{\log _a}1 = 0\] và \[{\log _a}{a^b} = b\] với \[a > 0,a \ne 1.\]
\[{a^{{{\log }_a}b}} = b\] với \[a > 0,b > 0,a \ne 1.\]
– Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định:
\[lo{g_a}\left( {b.c} \right) = lo{g_a}b + lo{g_a}c\]
\[lo{g_a}\frac{b}{c} = lo{g_a}b – lo{g_a}c,lo{g_a}\left( {\frac{1}{c}} \right) = – lo{g_a}c\]
\[lo{g_a}{b^\alpha } = \alpha lo{g_a}b\]( với mọi \[\alpha \]), \[lo{g_a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}lo{g_a}b\left( {n \in {N^*}} \right)\]
– Đổi cơ số trong điều kiện xác định:
\[{\log _b}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}}\]hay \[{\log _a}b.{\log _b}x = {\log _a}x\]
\[{\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\]hay \[{\log _a}b.{\log _b}a = 1;{\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\]
– Quan hệ so sánh với \[a > 0,a \ne 1,b > 0,c > 0\].
Nếu \[a > 1\] thì: \[{\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c.\]
Nếu \[0 < a < 1\] thì: \[{\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c.\]
Nếu \[a > 1\] thì: \[{\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1.\]
Nếu \[0 < a < 1\] thì: \[{\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b < 1.\]
\[{\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c.\]
II. Ví dụ minh họa
Bài toán 1: Tính:
a) \[{\log _{\frac{1}{5}}}125;{\rm{ }}{\log _{0,5}}\frac{1}{2};{\rm{ }}{\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}};{\rm{ }}{\log _{\frac{1}{6}}}36\]
b) \[{3^{{{\log }_3}18}};{\rm{ }}{3^{5{{\log }_3}2}};{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}};{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}.\]
Giải
a) \[{\log _{\frac{1}{5}}}125 = {\log _{\frac{1}{5}}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – 3}} = – 3;{\rm{ }}{\log _{0,5}}\frac{1}{2} = {\log _{0,5}}0,5 = 1\]
\[{\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}} = {\log _{\frac{1}{4}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} = 3;{\rm{ }}{\log _{\frac{1}{6}}}36 = {\log _{\frac{1}{6}}}{\left( {\frac{1}{6}} \right)^{ – 2}} = – 2\]
a) \[{3^{{{\log }_3}18}} = 18;{\rm{ }}{3^{5{{\log }_3}2}} = {3^{{{\log }_3}{2^5}}} = {2^5} = 32\]
\[{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {\left( {{2^{ – 3}}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {2^{\left( { – 3} \right){{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}{5^{ – 3}}}} = {5^{ – 3}} = \frac{1}{{125}}\]
\[{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}} = {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}} \right)^{{{\log }_{^{\frac{1}{2}}}}{2^5}}} = {2^5} = 32.\]
Bài toán 2: Tính:
a) \[\frac{{{{\log }_5}36 – {{\log }_5}12}}{{{{\log }_5}9}}\]
b) \[{36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 – \log 2}} – {8^{{{\log }_2}3}}.\]
Giải
a) \[\frac{{{{\log }_5}36 – {{\log }_5}12}}{{{{\log }_5}9}} = \frac{{{{\log }_5}3}}{{2{{\log }_5}3}} = \frac{1}{2}\]
b) \[{36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 – \log 2}} – {8^{{{\log }_2}3}} = {6^{{{\log }_6}{5^2}}} + {10^{{{\log }_{10}}5}} – {2^{{{\log }_2}{3^3}}} = {5^2} + 5 – {3^3} = 3.\]
Bài toán 3: Tính gọn
a) \[{\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right)\]
b) \[\log \frac{1}{8} – \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \]
Giải
a) \[\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}} = {a^{2 + \frac{1}{3} + \frac{4}{5} – \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{{173}}{{60}}}} \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right) = \frac{{173}}{{60}}\]
b) \[\log \frac{1}{8} – \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \]
\[ = \log {2^{ – 3}} – \log \left( {0,{5^3}.3} \right) + 2\log \sqrt {0,{5^4}{{.3}^2}} \]
\[\begin{array}{l} = \log {2^{ – 3}} – \log {2^{ – 3}} – \log 3 + 2\log {2^{ – 2}} + 2\log 3\\ = \log {2^{ – 4}} + \log 3 = \log \frac{3}{{16}}\end{array}\].
Bài toán 4: Tính gọn:
\[A = {\log _3}6.{\log _8}9.lo{g_6}2\] \[B = {\log _3}2.{\log _4}3.{\log _5}4.{\log _6}5.{\log _7}6.{\log _8}7\]
Giải
\[A = {\log _3}6.lo{g_6}2.{\log _8}9 = {\log _3}2.\frac{1}{3}{\log _2}9 = \frac{1}{3}{\log _3}9 = \frac{2}{3}\]
\[B = {\log _3}2.{\log _4}3.{\log _5}4.{\log _6}5.{\log _7}6.{\log _8}7\]
\[\begin{array}{l} = \frac{{\log 2}}{{\log 3}}.\frac{{\log 3}}{{\log 4}}.\frac{{\log 4}}{{\log 5}}.\frac{{\log 5}}{{\log 6}}.\frac{{\log 6}}{{\log 7}}.\frac{{\log 7}}{{\log 8}}\\ = \frac{{\log 2}}{{\log 8}} = {\log _8}2 = \frac{1}{3}{\log _2}2 = \frac{1}{3}\end{array}\]
Bài toán 5: Tìm \[x\] biết:
a) \[{\log _5}x = 2{\log _5}a – 3{\log _5}b\]
b) \[{\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a + \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b\]
Giải
a) \[{\log _5}x = {\log _5}{a^2} – {\log _5}{b^3} = {\log _5}\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} \Rightarrow x = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}\]
b) \[{\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} + {\log _{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{5}}} = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{2}{3}}}.{b^{\frac{1}{5}}}} \right) \Rightarrow x = {a^{\frac{2}{3}}}.{b^{\frac{1}{5}}}.\]
Bài toán 6:
a) Tính \[{\log _{25}}15\]theo \[a = {\log _{15}}3.\]
b) Tính \[lo{g_4}1250\]theo \[b = {\log _2}5.\]
Giải
a) \[\begin{array}{l}{\log _{25}}15 = \frac{1}{{{{\log }_{15}}25}} = \frac{1}{{2{{\log }_{15}}5}}\\ = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_{15}}15 – {{\log }_{15}}3} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {1 – a} \right)}}\end{array}\]
b) \[lo{g_4}1250 = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{5^4}.2} \right) = 2{\log _2}5 + \frac{1}{2} = 2b + \frac{1}{2}\]
Bài toán 7:
a) Tính \[{\log _{\sqrt 3 }}50\]theo \[{\log _3}15 = a,{\log _3}10 = b.\]
b) Tính \[{\log _{25}}24\]theo \[{\log _6}15 = x,{\log _{12}}18 = y.\]
Giải
a) \[{\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50 = 2{\log _3}50 = 2{\log _3}10 + 2{\log _3}5\]
\[ = 2{\log _3}10 + 2{\log _3}\frac{{15}}{3} = 2{\log _3}10 + 2\left( {{{\log }_3}15 – 1} \right)\]
\[ = 2b + 2\left( {a – 1} \right) = 2a + 2b – 2.\]
b) Ta có\[x = \frac{{{{\log }_2}3.5}}{{{{\log }_2}2.3}} = \frac{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}\]và \[y = \frac{{{{\log }_2}{{2.3}^2}}}{{{{\log }_2}{2^2}.3}} = \frac{{1 + 2{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}}\]
Suy ra \[{\log _2}3 = \frac{{2y – 1}}{{2 – y}};{\log _2}5 = \frac{{x + 1 – 2y + xy}}{{2 – y}}\]
Do đó \[{\log _{25}}24 = \frac{{{{\log }_2}{2^3}.3}}{{{{\log }_2}{5^2}}} = \frac{{5 – y}}{{2\left( {x + 1 – 2y + xy} \right)}}.\]
Bài toán 8: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) \[{a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}\]
b)\[\frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_{ab}}x}} = 1 + {\log _a}b\]
c)\[\frac{1}{{{{\log }_a}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^2}}}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^3}}}b}} + … + \frac{1}{{{{\log }_{{a^n}}}b}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{{\log }_a}b}}\]
Giải
a) \[{a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_b}{a^{{{\log }_c}b}}}} = {b^{{{\log }_c}b.{{\log }_b}a}} = {b^{{{\log }_c}a}}\]
b) \[\frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_{ab}}x}} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{\frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}ab}}}} = {\log _a}ab = {\log _a}a + {\log _a}b = 1 + {\log _a}b\]
c) \[VT = \frac{1}{{{{\log }_a}b}} + \frac{2}{{{{\log }_a}b}} + \frac{3}{{{{\log }_a}b}} + … + \frac{n}{{{{\log }_a}b}}\]
\[ = \left( {1 + 2 + 3 + … + n} \right).\frac{1}{{{{\log }_a}b}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{{\log }_a}b}}.\]
Bài toán 9: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu \[{a^2} + {b^2} = 7ab\]thì \[{\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_7}a + {{\log }_7}b} \right)\]
b) Nếu \[{a^2} + {c^2} = {b^2}\]thì \[{\log _{b + c}}a + {\log _{b – c}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{b – c}}a.\]
Giải
a) \[{a^2} + {b^2} = 7ab \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab \Rightarrow \frac{{a + b}}{3} = \sqrt {ab} \Rightarrow \]đpcm.
b) Theo giả thiết:\[{a^2} = \left( {b – c} \right)\left( {b + c} \right)\]. Xét \[a = 1\]: đúng.
Xét \[a \ne 1\]thì \[{\log _a}\left( {b – c} \right) + {\log _a}\left( {b + c} \right) = 2 \Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_{b – c}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{b + c}}a}} = 2\]
nên \[{\log _{b + c}}a + {\log _{b – c}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{b – c}}a.\]
Bài toán 10: Trong khai triển nhị thức \[{\left( {\sqrt {{x^{\frac{1}{{\lg x + 1}}}}} + \sqrt[{12}]{x}} \right)^6}\], biết số hạng thứ tư bằng 200. Tìm \[x\]?
Giải
ĐK: \[x > 0,x \ne \frac{1}{{10}}.\]
Ta có:
\[{\left( {\sqrt {{x^{\frac{1}{{\lg x + 1}}}}} + \sqrt[{12}]{x}} \right)^6} = {\left( {{x^{\frac{1}{{2\left( {\lg x + 1} \right)}}}} + {x^{\frac{1}{{12}}}}} \right)^6} = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k} {x^{\frac{{6 – k}}{{2\left( {\lg x + 1} \right)}}}}.{x^{\frac{k}{{12}}}}\]
Số hạng thứ 4 ứng với k = 3, theo giả thiết bằng 200 nên:
\[C_6^3{x^{\frac{3}{{2\left( {\lg x + 1} \right)}} + \frac{1}{4}}} = 200 \Leftrightarrow {x^{\frac{{7 + {\mathop{\rm lgx}\nolimits} }}{{4\lg x + 4}}}} = 10 \Leftrightarrow \frac{{7 + {\mathop{\rm lgx}\nolimits} }}{{4\lg x + 4}}\lg x = 1\]
\[ \Leftrightarrow {\lg ^2}x + 3\lg x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\lg x = 1\\\lg x = – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = {10^{ – 4}}\end{array} \right.\](Chọn).
Bài giảng Toán học 12 Bài 3: Lôgarit
Xem thêm