Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB=BC=a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SBA^=60° . Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho AC→=2CM→ . Tính khoảng cách giữa SM và AB.

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có $AB=BC=a$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, $\widehat{SBA}=60°$ . Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CM}$ . Tính khoảng cách giữa SM và AB.

A. $\frac{6a\sqrt{7}}{7}.$

B. $\frac{a\sqrt{7}}{7}.$

C. $\frac{a\sqrt{7}}{21}.$

D. $\frac{3a\sqrt{7}}{7}.$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D

Trong (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với AM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại E ta được tứ giác ABEM là hình bình hành.
Vì $\begin{array}{l}ME//AB\Rightarrow AB//\left(SME\right)\\ \Rightarrow d(AB;SM)=d(AB;\left(SME\right))=d(A;\left(SME\right))\end{array}$
Từ A trong mặt phẳng (ABEM)   kẻ $AK\perp ME$ , lại có:  (do ).
Trong $\left(SAK\right)$   kẻ $AH\perp SK$  tại H.
Ta có  (do $SA\perp \left(ABEM\right)\Rightarrow EK\perp \left(SAK\right)$ )
 $\Rightarrow AH\perp \left(SKE\right)$  tại H.
Từ đó $d(AB;SM)=d(A;\left(SME\right))=AH$ .
Xét tam giác SBA vuông tại A có $SA=AB.\tan SBA=a.\tan 60°=a\sqrt{3}$ .
Lại có tam giác ABC vuông cân tại B nên $AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\Rightarrow CM=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .
Do đó $AM=AC+CM=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$ .
 $\Delta ABC$vuông cân tại B nên $ACB=45°\Rightarrow CBE=ACB=45°$  (hai góc so le trong). 
Từ đó $ABE=ABC=CBE=90°+45°=135°$ , suy ra  (hai góc đổi hình bình hành).
Nên tam giác AME là tam giác tù nên K nằm ngoài đoạn ME.
Ta có:  mà tam giác AMK vuông tại K nên tam giác AMK vuông cân tại K. $\Rightarrow AK=\frac{AM}{\sqrt{2}}=\frac{3a}{2}$

Xét tam giác SAK vuông tại A có đường cao AH, ta có: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{9a^2}\Rightarrow AH=\frac{3a\sqrt{7}}{7}$ .
Vậy $d(AB;SM)=\frac{3a\sqrt{7}}{7}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên (SAB)  và (SAC)cùng vuông góc với đáy vàSB=a3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.  
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên $\left(SAB\right)$  và $\left(SAC\right)$cùng vuông góc với đáy và$SB=a\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
    

   A. $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}.$

   B. $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}.$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}.$

   D. $\frac{2a^3\sqrt{6}}{9}.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   
   Vì $\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(SAC\right)=SA\end{array}\Rightarrow SA\perp \left(ABC\right)$ .
   Xét tam giác vuông SAB có: $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt{2}$ .
   Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .
   Thể tích khối chóp là $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}.a\sqrt{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=f(x)  thỏa mãn f(0)=1,f'(x)  liên tục trên R và ∫03f'(x)dx=9  . Giá trị của f(3) là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  thỏa mãn $f\left(0\right)=\mathrm{1,}f‘\left(x\right)$  liên tục trên R và $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f‘\left(x\right)dx=9$  . Giá trị của f(3) là:

   A. 6.

   B. 3.

   C. 10.

   Đáp án chính xác

   D. 9.

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f‘\left(x\right)dx=9=f\left(3\right)-f\left(0\right)\Rightarrow f\left(3\right)=9+f\left(0\right)=9+1=10.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho a, b là các số dương tùy ý, khi đó ln(a+ab) bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho a, b là các số dương tùy ý, khi đó ln(a+ab) bằng:

   A. $\ln a.\ln \left(ab\right).$

   B. $\ln a+\ln (1+b).$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{\ln a}{\ln (1+b)}.$

   D. $\ln a+\ln ab.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có:$\ln (a+ab)=\ln \left(a(1+b)\right)=\ln a+\ln (1+b)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=12x+3  là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x+3}$  là:

   A. $\frac{1}{{(2x+3)}^2}+C.$

   B. $-\frac{3}{{(2x+3)}^2}+C.$

   C. $-\frac{1}{2}\ln |2x+3|+C.$

   D. $\frac{1}{2}\ln |2x+3|+C.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int \frac{1}{2x+3}dx=\frac{1}{2}\ln |2x+3|+C$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Bất phương trình (12)x2−2x>18  có tập nghiệm là (a;b) . Khi đó giá trị của b−a  là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-2x}>\frac{1}{8}$  có tập nghiệm là $(a;b)$ . Khi đó giá trị của $b-a$  là:

   A. 4.

   Đáp án chính xác

   B. -4

   C. 2.

   D. -2

   Trả lời:

   Đáp án A
   Ta có:${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-2x}>\frac{1}{8}\iff x^2-2x<{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}\iff x^2-2x<3\iff x^2-2x-3<0\iff -1<x<3.$
   Tập nghiệm của bất phương trình $S=(-1;3)\Rightarrow a=-1;b=3$  nên $b-a=4$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====