Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc 60 độ và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc φ  thỏa mãn cosφ=24  . Gọi φ  là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) . Tính tanα .

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc 60 độ và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc $\phi$  thỏa mãn $\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{4}$  . Gọi $\phi$  là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) . Tính $\tan \alpha$ .

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}.$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$

C. $\frac{1}{2}.$

Đáp án chính xác

D. $\sqrt{3}.$

Trả lời:

Đáp án C

Gọi O là trung điểm của BC, qua O kẻ tia Oz cắt SC tại B.
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó:
  $O(0;0;0),A(1;0;0),B(0;-1;0),C(0;1;0),S(0;m;n)$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-1;-1;0),\overrightarrow{AC}=(-1;1;0),\overrightarrow{AS}=(-1;m;n)$.
Mặt phẳng $\left(SBC\right):x=0$  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{i}=(1;0;0)$ .
Mặt phẳng $\left(SAC\right)$  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}]=(n;n;-m+1).$
Mặt phẳng $\left(SAB\right)$   có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS}]=(-n;n;-m-1).$

$\begin{array}{l}\cos 60°=\frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{i}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|}=\frac{|-n|}{\sqrt{2n^2+{(-m-1)}^2}}\iff \frac{1}{2}=\frac{|-n|}{\sqrt{2n^2+{(-m-1)}^2}}\iff 4n^2=2n^2+{(-m-1)}^2\iff 2n^2={(-m-1)}^2\left(1\right)\\ \cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{i}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|}=\frac{\left|n\right|}{\sqrt{2n^2+{(-m+1)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\iff 4\left|n\right|=\sqrt{4n^2+2{(-m+1)}^2}\iff 6n^2={(1-m)}^2\left(2\right)\end{array}$Từ (1) và (2) suy ra  $3{(m+1)}^2={(1-m)}^2\iff [\begin{array}{l}m=-2+\sqrt{3}\\ m=-2-\sqrt{3}\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}n=\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ n=\sqrt{2+\sqrt{3}}\end{array}$ .
$\Rightarrow [\begin{array}{l}S(0;-2+\sqrt{3};\sqrt{2-\sqrt{3}})\\ S(0;-2-\sqrt{3};\sqrt{2+\sqrt{3}})\end{array}$
$\begin{array}{l}\Rightarrow [\begin{array}{l}H(0;-2+\sqrt{3};0)\\ H(0;-2-\sqrt{3};0)\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}SH=\sqrt{2-\sqrt{3}},AH=\sqrt{1+{(-2+\sqrt{3})}^2}=2\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ SH=\sqrt{2+\sqrt{3}},AH=\sqrt{1+{(-2-\sqrt{3})}^2}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}\end{array}\\ \Rightarrow \tan \alpha =\frac{SH}{AH}=\frac{1}{2}\end{array}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên (SAB)  và (SAC)cùng vuông góc với đáy vàSB=a3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.  
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên $\left(SAB\right)$  và $\left(SAC\right)$cùng vuông góc với đáy và$SB=a\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
    

   A. $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}.$

   B. $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}.$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}.$

   D. $\frac{2a^3\sqrt{6}}{9}.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   
   Vì $\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(SAC\right)=SA\end{array}\Rightarrow SA\perp \left(ABC\right)$ .
   Xét tam giác vuông SAB có: $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt{2}$ .
   Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .
   Thể tích khối chóp là $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}.a\sqrt{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=f(x)  thỏa mãn f(0)=1,f'(x)  liên tục trên R và ∫03f'(x)dx=9  . Giá trị của f(3) là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  thỏa mãn $f\left(0\right)=\mathrm{1,}f‘\left(x\right)$  liên tục trên R và $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f‘\left(x\right)dx=9$  . Giá trị của f(3) là:

   A. 6.

   B. 3.

   C. 10.

   Đáp án chính xác

   D. 9.

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f‘\left(x\right)dx=9=f\left(3\right)-f\left(0\right)\Rightarrow f\left(3\right)=9+f\left(0\right)=9+1=10.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho a, b là các số dương tùy ý, khi đó ln(a+ab) bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho a, b là các số dương tùy ý, khi đó ln(a+ab) bằng:

   A. $\ln a.\ln \left(ab\right).$

   B. $\ln a+\ln (1+b).$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{\ln a}{\ln (1+b)}.$

   D. $\ln a+\ln ab.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có:$\ln (a+ab)=\ln \left(a(1+b)\right)=\ln a+\ln (1+b)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=12x+3  là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x+3}$  là:

   A. $\frac{1}{{(2x+3)}^2}+C.$

   B. $-\frac{3}{{(2x+3)}^2}+C.$

   C. $-\frac{1}{2}\ln |2x+3|+C.$

   D. $\frac{1}{2}\ln |2x+3|+C.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int \frac{1}{2x+3}dx=\frac{1}{2}\ln |2x+3|+C$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Bất phương trình (12)x2−2x>18  có tập nghiệm là (a;b) . Khi đó giá trị của b−a  là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-2x}>\frac{1}{8}$  có tập nghiệm là $(a;b)$ . Khi đó giá trị của $b-a$  là:

   A. 4.

   Đáp án chính xác

   B. -4

   C. 2.

   D. -2

   Trả lời:

   Đáp án A
   Ta có:${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-2x}>\frac{1}{8}\iff x^2-2x<{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}\iff x^2-2x<3\iff x^2-2x-3<0\iff -1<x<3.$
   Tập nghiệm của bất phương trình $S=(-1;3)\Rightarrow a=-1;b=3$  nên $b-a=4$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====